Chủ đề này có 1 trả lời

[tritanngo99]

Cho các số thực khác 0 thoả mãn $a,b,c$ phân biệt từng đôi một và $a+b+c=0$. Chứng minh rằng: $(\frac{a}{b-c})+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c})=9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 12-05-2024 - 22:12

[MHN]

Lời giải

Cho các số thực khác 0 thoả mãn $a,b,c$ phân biệt từng đôi một và $a+b+c=0$. Chứng minh rằng: $(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c})=9$

Đặt: $A=\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}$
$B=\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}$
Ta có: $A=\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=\frac{a(a-b)(c-a)+b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$\Leftrightarrow A=\frac{a(ac-bc-a^2+ab)+b(ab-ca-b^2+bc)+c(bc-ab-c^2+ca)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$\Leftrightarrow A=\frac{a^2c-abc-a^3+a^2b+ab^2-abc-b^3+b^2c+bc^2-abc-c^3+c^2a}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$\Leftrightarrow A=\frac{a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2-(a^3+b^3+c^3)-3abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
Dễ dàng CM được: Với $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc$.
$\Leftrightarrow A=\frac{a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc-8abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$\Leftrightarrow A=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-8abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
Mà: $a+b+c=0 \Rightarrow A=\frac{-9abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$B=\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}=\frac{bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)}{abc}$
$\Leftrightarrow B=\frac{b^2c-bc^2+c^2a-ca^2+a^2b-ab^2}{abc}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{abc}$
$\Rightarrow A.B=9(Đpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 14-05-2024 - 23:16