1 reply to this topic

[tritanngo99]

Chứng minh rằng phương trình: $3y^2=x^4+x$ không có nghiệm nguyên dương

[tomeps]

Best Answer

Đặt: y = $3^m n$, trong đó $m$ lớn nhất có thể. Vì thế $n$ không chia hết cho 3.
Đề bài tương đương với:
$3^{2m+1} n^2 = x(x+1)\left(x^2 - x + 1\right)$
TH1: $x$ chia hết cho 3. Khi đó thì
$x=3^{2m+1}a$
$(x+1) \left(x^2 - x + 1\right) = \frac{n^2}{a}$
Với một số $a | n^2$ nào đó.
Ta thấy, nếu $a$ không phải là số chính phương, sẽ tồn tại một số $b$ nào đó lớn hơn 1 và là ước của cả hai số $x$ và $(x+1) \left(x^2 - x + 1\right)$. Điều này là không thể.
Do đó, $a$ là số chính phương, kéo theo $(x+1) \left(x^2 - x + 1\right)$ là số chính phương. Ta có, ước chung lớn nhất của hai nhân tử này cũng là ước của 3. Nhưng hai số này không chia hết cho 3 theo giả thuyết, nên ước chung lớn nhất của $(x+1)$ và $\left(x^2 - x + 1\right)$ là 1.
Vậy $x^2 - x + 1$ là số chính phương. Ta lại có:
$x^2 \geq x^2 - x + 1 > (x-1)^2$
Nên $x=1$… không thỏa mãn đề bài.

TH2: $x$ không chia hết cho 3.
Lập luận tương tự như TH1, chúng ta chứng minh được $x$ là số chính phương. Theo giả thuyết, $x$ chia 3 dư 1… không thỏa mãn đề bài.

Từ hai trường hợp trên, ta có điều phải chứng minh.

Edited by tomeps, 21-05-2024 - 21:57.