Chủ đề này có 82 trả lời

[Bùi Việt Anh]

$(ab+ac+bc)[( \sum \dfrac{a+b}{c} )-2( \sum \dfrac{a}{b+c} )] \geq (a+b+c)( \dfrac{ab}{c} + \dfrac{ac}{b} + \dfrac{bc}{a} )$
Bất đẳng thức đã cho tương đương :
$ \dfrac{ \sum sym(a^{3}b^{3}-a^2b^2c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 0$
vậy ta có :$S_c= \dfrac{c^2}{(c+b)(c+a)} \geq 0$ đpcm
Đẳng thức xảy ra a=b=c
Đây là lời giải của em bằng SOS . (Không biết biến đổi đúng chưa nhỉ

Đẳng thức xảy ra tại 2 điểm: a=b=c và trong 3 số có 2 số bằng 0.Để anh về xem lại xem em có đúng ko nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:20

[Bùi Việt Anh]

Việt Anh kiểm tra kĩ lại thì:
$S_a,S_b$
Các biểu thức trên rất phức tạp,nhìn đã đau mắt rồi nên VA chưa giải thử.Bạn nào kiểm tra xem có giải được bằng các tiêu chuẩn của S.O.S ko nhé!.Bài này một học sinh lớp 7 sau khi đọc lí thuyết VA xây dựng thì có ngay lời giải 4 dòng sau chưa đầy 5 phút.Một bài vẫn được xem là sở trường của S.O.S mà S.O.S lại vất vả thế này thì S.O.S còn phải phát triển thêm rất nhiều.Với S.O.S hiện nay thì mới chỉ giải được khoảng 10% các bài BDT đối xứng 3 biến đồng bậc(nếu ko đồng bậc thì chỉ là 0,000000000001%)chứ ko phải trên 90% như nhiều bạn nghĩ.Việt Anh cũng như kimluan ko hề có ý chê bai hay đả phá gì S.O.S cả mà chỉ là ko hài lòng với những bạn coi S.O.S là chiếc chìa khóa vạn năng để giải BDT đối xứng 3 biến.Mong các bạn sớm nhận ra sự ngộ nhận của mình để có những đột phá.Xin nói thêm là nếu có một người hỏi VA rằng phương pháp nào là tốt nhất khi CM BDT 3 biến đối xứng thì VA sẽ trả lời : số 1 là hàm số,số 2 là S.O.S.Nói vậy để các bạn thấy VA rất đề cao S.O.S.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:52

[tanpham90]

Việt Anh kiểm tra kĩ lại thì:
$S_a,S_b$
Các biểu thức trên rất phức tạp,nhìn đã đau mắt rồi nên VA chưa giải thử.Bạn nào kiểm tra xem có giải được bằng các tiêu chuẩn của S.O.S ko nhé!.Bài này một học sinh lớp 7 sau khi đọc lí thuyết VA xây dựng thì có ngay lời giải 4 dòng sau chưa đầy 5 phút.Một bài vẫn được xem là sở trường của S.O.S mà S.O.S lại vất vả thế này thì S.O.S còn phải phát triển thêm rất nhiều.Với S.O.S hiện nay thì mới chỉ giải được khoảng 10% các bài BDT đối xứng 3 biến đồng bậc(nếu ko đồng bậc thì chỉ là 0,000000000001%)chứ ko phải trên 90% như nhiều bạn nghĩ.Việt Anh cũng như kimluan ko hề có ý chê bai hay đả phá gì S.O.S cả mà chỉ là ko hài lòng với những bạn coi S.O.S là chiếc chìa khóa vạn năng để giải BDT đối xứng 3 biến.Mong các bạn sớm nhận ra sự ngộ nhận của mình để có những đột phá.Xin nói thêm là nếu có một người hỏi VA rằng phương pháp nào là tốt nhất khi CM BDT 3 biến đối xứng thì VA sẽ trả lời : số 1 là hàm số,số 2 là S.O.S.Nói vậy để các bạn thấy VA rất đề cao S.O.S.

Sau khi em kiểm tra lại kĩ thì lời giải của em cũng không sai (anh Việt Anh cũng không sai) ! Thật ra các biểu thức $S_a , S_b , S_c$ của anh Việt Anh vẫn còn rút gọn được !
Ta dễ dàng chứng minh đồng nhất thức sau :
$\sum cyclic(a-b)^{2} (\dfrac{ac+bc-c^2}{2ab} - \dfrac{1}{2} ) \equiv 0 \forall a,b,c $
Có lẽ những điều anh nói là đúng nhưng VD này của anh vẫn còn hơi yếu ! Anh cho VD khác thử xem !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:54

[tanpham90]

$(ab+ac+bc)[( \sum \dfrac{a+b}{c} )-2( \sum \dfrac{a}{b+c} )] \geq (a+b+c)( \dfrac{ab}{c} + \dfrac{ac}{b} + \dfrac{bc}{a} )$
Bất đẳng thức đã cho tương đương :
$ \dfrac{ \sum sym(a^{3}b^{3}-a^2b^2c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 0$
vậy ta có :$S_c= \dfrac{c^2}{(c+b)(c+a)} \geq 0$ đpcm
Đẳng thức xảy ra a=b=c
Đây là lời giải của em bằng SOS . (Không biết biến đổi đúng chưa nhỉ

Đẳng thức xảy ra tại 2 điểm: a=b=c và trong 3 số có 2 số bằng 0.Để anh về xem lại xem em có đúng ko nhé!

Làm sao có số bằng 0 được vậy anh ?
Hình như anh đánh máy nhầm rồi !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:21

[buckandbaby]

Tôi không rõ cách của tanpham90 có đúng không nữa(trình bày tắt quá). Thực ra như tôi đã nói ở trên. để đưa về dạng SOS có nhiều cách. Người hiểu sâu hiểu kĩ SOS sẽ đưa về được dạng đơn giản nhất. Rất khó để có thể nói ai đó đưa về dạng SOS đúng hay sai.
@ anh VA: anh post phương pháp của anh đi, em đợi dài cổ từ khi anh giới thiệu khá lâu rồi. Xem ra thai nghén càng lâu thì sản phẩm càng giá trị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buckandbaby: 05-09-2006 - 11:12

[buckandbaby]

Sử dụng $\sum \dfrac{a+b}{2} -6= \sum \dfrac{(a-b)^{2}}{ab} $
$ 2\sum \dfrac{a}{b+c}-3= \sum \dfrac{(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)} $
Ta có VT=$(ab+bc+ca)[3+ \sum(a-b)^{2}( \dfrac{1}{ab}- \dfrac{1}{(a+c)(b+c)} ] $
$=(ab+bc+ca)[3+ \sum(a-b)^{2}\dfrac{c(a+b+c)}{ab(a+c)(b+c)} ] $
Chuẩn hóa a+b+c=3; nhân cả hai vế với abc/(a+b+c)
BDT trở thành
$\sum ab [ \dfrac{abc}{a+b+c} +\sum(a-b)^{2} \dfrac{c^{2}}{(a+c)(b+c)} \geq \sum (ab)^{2} $
$ \Leftrightarrow \sum(a-b)^{2} \dfrac{c^{2}}{(a+c)(b+c)} \geq \sum (ab)^{2}-\dfrac{abc}{a+b+c}$
Đặt x=ab,y=bc,z=ca; BDT trở thành
$ \sum \dfrac{x}{(x+y)(y+z)}(y-z)^{2} \geq \dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}- \dfrac{3xyz}{xy+yz+zx}
$
Ta có $ \sum a^{2} \sum xy -3 xyz(x+y+z)
=\sum sym x^{3}y- 3 \sum cyclic x^{2}yz = \sum x(y+z)(y-z)^{2}$
Vậy $Vt-VP=\sum \dfrac{x}{(x+y)(y+z)}- \dfrac{x(y+z)}{(x+y+z)(xy+yz+zx}
(y-z)^{2}$ĐÚng do $\sum x \sum xy \geq (x+y)(y+z)(z+x) \Leftrightarrow xyz \geq 0 $
Đây là bài giải đầu tiên nên tôi viết khá cẩn thận. Chắc là đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:22

[kyoshiro_hp]

Bài của anh VA nếu mà cho ab+bc+ca=3, rồi đặt a+b+c=p,abc=r thì lời giải cũng chỉ mất 5,6 dòng( vì đối xứng mà), nhưng vì đặt ra cho S.O.S nên chắc em ko nên tham gia .
Anh VA giới thiệu PP của anh đi, bắt đàn em chờ dài cổ y như cái thời SOS...Mà anh lại sắp offline dài hạn thì đến bao giờ nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kyoshiro_hp: 05-09-2006 - 12:03

[tanpham90]

$ (ab+bc+ca)( \sum cyclic( \dfrac{a+b}{c} \dfrac{2a}{b+c} ) \geq (a+b+c) \sum cyclic \dfrac{ab}{c}$
$ \Leftrightarrow (ab+bc+ca)[ \sum cyclic( \dfrac{a+b}{c} -2)- \sum cyclic( \dfrac{2a}{b+c} -1)] \geq (a+b+c) \sum cyclic \dfrac{ab}{c}-3(ab+bc+ca)$
$ \Leftrightarrow \sum cyclic \dfrac{(a-b)^{2}c(a+b+c)(ab+bc+ca)}{ab(c+a)(c+b)} \geq \sum cyclic \dfrac{(a-b)^{2}c(a+b)}{ab} $
$ \Leftrightarrow \sum cyclic[ \dfrac{(a-b)^{2}c}{ab} ][ \dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(c+a)(c+b)} -(a+b)] \geq 0 $
$ \Leftrightarrow \sum cyclic(\dfrac{(a-b)^{2}c^{2}}{(c+a)(c+b)}) \geq 0 $
Đây là lời giải tương đối chi tiết ! Vậy được chưa các anh !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:23

[tanpham90]

$ (ab+bc+ca)( \sum cyclic( \dfrac{a+b}{c} - \dfrac{2a}{b+c} ) \geq (a+b+c) \sum cyclic \dfrac{ab}{c}$
$ \Leftrightarrow (ab+bc+ca)[ \sum cyclic( \dfrac{a+b}{c} -2)- \sum cyclic( \dfrac{2a}{b+c} -1)] \geq (a+b+c) \sum cyclic \dfrac{ab}{c}-3(ab+bc+ca)$
$ \Leftrightarrow \sum cyclic \dfrac{(a-b)^{2}c(a+b+c)(ab+bc+ca)}{ab(c+a)(c+b)} \geq \sum cyclic \dfrac{(a-b)^{2}c(a+b)}{ab} $
$ \Leftrightarrow \sum cyclic[ \dfrac{(a-b)^{2}c}{ab} ][ \dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(c+a)(c+b)} -(a+b)] \geq 0 $
$ \Leftrightarrow \sum cyclic(\dfrac{(a-b)^{2}c^{2}}{(c+a)(c+b)}) \geq 0 $
Đây là lời giải tương đối chi tiết ! Vậy được chưa các anh !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:25

[buckandbaby]

Edit xong rùi mới đọc được bài của tanpham90. Ve co ban la cach dua ve SOS giống nhau. . Chắc là đúng rùi.Thực ra cũng không yêu cầu viết chi tiết nhưng cũng cần đưa ra hướng phân tích như vầy để người đọc còn biết đường chớ.

[Bùi Việt Anh]

Lời giải của tanpham90 là rất tốt!Vì giải bằng phương pháp của anh ngắn quá nên anh cũng ko phân tích S.O.S một cách hợp lí nên tưởng khó.
Lời giải của buckanhbaby đúng nếu như em xét thêm TH có 2 số=0 vì khi có 2 số=0 em ko thể chuẩn hóa=3 được.Các em có thể thắc mắc là khi b=c=0 thì mẫu số b+c=0.Nhưng nếu chú ý là nếu trên tử cũng có 1 đại lượng=0 thì khi giản ước cho nhau thì vẫn hợp lí.Nhìn vào phần tích S.O.S của tanpham90 các em có thể hiểu ngay vì sao khi có 2 số=0 lại xảy ra đẳng thức.
Xin lỗi các bạn và đặc biệt là hungkhtn vì VA đã có những lời nói ngông cuồng như bên trên.S.O.S quá hay nên VA đành phải nghiêm túc thôi.Bây giờ thì thực sự vào cuộc nhé!
Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+ac+bc=1.CMR:
$2(a+b+c)abc(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \geq [(a+b)^4+(b+c)^4+(c+a)^4](1+a^2-2bc)(1+b^2-2ac)(1+c^2-2ab).$

Đề bài của bài trên rất gây phản cảm và ko gây cho mọi người hứng thú để làm.Nhưng đó lại là một bài đẹp nhất mà anh post từ trước đến giờ.Như vậy là ta ko thể đánh giá một bài toán qua cái vẻ bề ngoài của nó được.
Với bài trên thì ko riêng S.O.S,anh muốn thấy một lời giải bằng bất kì cách nào.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:26

[tanpham90]

Chiều nay em sẽ post bài giải bằng SOS !

[kyoshiro_hp]

Ko biết anh VA nói đẹp nhất là vẻ đẹp bài toán thật hay về lời giải bằng PP của anh thế ạ ! Em thấy hình như a=b=c, hoặc a + ,b,c 0,ab=>1/2,ac=>1/2 là dấu bằng, trong khi bậc của bdt khủng khiếp thế kia,ko biết chia để trị của anh Kimluan có giải được ko chứ em thấy các PP khác vô phương (cũng có thể tại em quá kém, nên ko làm nổi và ko thấy được vẻ đẹp của bài này ).Vậy mong bạn tanpham90 sớm post lời giải SOS để bạn bè học hỏi nhỉ

[tanpham90]

Đặt a=x b=y c=z f(x,y,z)=VT-VP
Thay 1=xy+yz+xz ! Ta có :
$ f(x,y,z)= \sum cyclic2(x-y)^{2}z^{4}[5y^{3}(z-x)+2y^{2}(4z^{2}+2xz-5x^{2})+y(4z^{3}+9z^{2}x+4zx^{2}-5x^{3})+z(z^{3}+4z^{2}x+8zx^{2}+5x^{3})]$
Giả sử $x \geq y \geq z$
Dễ dàng c/m $S_y \geq 0 , S_x \geq 0$
Ta có :
$S_y+S_z=5x^{3}(y+z)(y^{2}+z^{2})(y-z)^{2}+2x^{2}(4y^{6}+2y^{5}z-5y^{4}z^{2}-5y^{2}z^{4}+2yz^{5}+4z^{6})+x(4y^{7}+9y^{6}z+4y^{5}z^{2}-5y^{4}z^{3}-5y^{3}z^{4}+4y^{2}z^{5}+9yz^{6}+4z^{7})+y^{8}+4y^{7}z +8y^{6}z^{2}+5y^{5}z^{3}+5y^{3}z^{5}+8y^{2}z^{6}+4yz^{7}+z^{8}$
Đến đây thì thừa nhận luôn cũng được ! Hoặc dùng đạo hàm khảo sát hoặc "chia để trị" cũng được !
(Biến đổi trên đây chắc chắn đúng 99% !)
Dù sao thì em cũng ủng hộ nên làm cách khác chứ cách này ...........chịu sao thấu !
Các anh có cách nào hay hơn thì cứ post lên , OK ?

Bài này nếu dùng SOS thì chắc chắn phải "kiên nhẫn" rồi ! Em chỉ post bấy nhiêu thôi , chứ làm chi tiết thì chắc em cũng không đọc nói chi các anh ! Các anh thông cảm !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:27

[tanpham90]

Bài này SOS vẫn làm được nhỉ ! Chỉ cần "kiên nhẫn" là ra hết !
Lời giải = 10 tờ giấy đôi + 1 cây bút + 7h + FX-570MS
Dài khoảng 10 dòng (cũng được đấy chứ !) , không biết cách ngắn hơn thì sao nhỉ ??

[Bùi Việt Anh]

Lớp trẻ bây giờ vừa giỏi vừa "khỏe",đáng nể thật.Lời giải của tanpham90 giải chi tiết ra thì riêng việc ngồi viết cũng mất đứt một buổi nhỉ?Lời giải của anh chi tiết lắm thì cũng chỉ 10 dòng.HS cấp 2 đọc cũng dễ dàng hiểu.
Các em tiếp tục với bài này:
Cho a,b,c>0.Tìm hằng số k tốt nhất t/m:
$ \dfrac{a^4+b^4+c^4}{ab+ac+bc} + \dfrac{kabc}{a+b+c} \geq\ \dfrac{3+k}{9} (a^2+b^2+c^2)$
Quá ưu ái với S.O.S rồi còn gì,dạng sở trường nhất trong những sở trường

@Ý của anh khi đưa lên những bài tập này là: dạngk sở trường của S.O.S mà S.O.S phải vất vả thế thì nó cần phát triển rất nhiều chứ những bài 100% S.O.S ko giải được anh ko thiếu.Các em kiên nhẫn thêm nhé!rồi các em sẽ được thấy toàn bộ PP.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:28

[buckandbaby]

Anh VA đưa ra những bài này là còn nể nang fan của SOS chứ tương mấy căn vào thì đi ngay.
Em thấy anh Hungkhtn đã trở lại trên mathnfriend mà không thấy xuất hiện ở trang này.

[CTptnk]

Đặt a=x b=y c=z f(x,y,z)=VT-VP
Thay 1=xy+yz+xz ! Ta có :
$ f(x,y,z)= \sum cyclic2(x-y)^{2}z^{4}[5y^{3}(z-x)+2y^{2}(4z^{2}+2xz-5x^{2})+y(4z^{3}+9z^{2}x+4zx^{2}-5x^{3})+z(z^{3}+4z^{2}x+8zx^{2}+5x^{3})]$
Giả sử $x \geq y \geq z$
Dễ dàng c/m $S_y \geq 0 , S_x \geq 0$
Ta có :
$S_y+S_z=5x^{3}(y+z)(y^{2}+z^{2})(y-z)^{2}+2x^{2}(4y^{6}+2y^{5}z-5y^{4}z^{2}-5y^{2}z^{4}+2yz^{5}+4z^{6})+x(4y^{7}+9y^{6}z+4y^{5}z^{2}-5y^{4}z^{3}-5y^{3}z^{4}+4y^{2}z^{5}+9yz^{6}+4z^{7})+y^{8}+4y^{7}z +8y^{6}z^{2}+5y^{5}z^{3}+5y^{3}z^{5}+8y^{2}z^{6}+4yz^{7}+z^{8}$
Đến đây thì thừa nhận luôn cũng được ! Hoặc dùng đạo hàm khảo sát hoặc "chia để trị" cũng được !
(Biến đổi trên đây chắc chắn đúng 99% !)
Dù sao thì em cũng ủng hộ nên làm cách khác chứ cách này ...........chịu sao thấu !
Các anh có cách nào hay hơn thì cứ post lên , OK ?

Bài này nếu dùng SOS thì chắc chắn phải "kiên nhẫn" rồi ! Em chỉ post bấy nhiêu thôi , chứ làm chi tiết thì chắc em cũng không đọc nói chi các anh ! Các anh thông cảm !

Hì, mình nghĩ bạn đã nói thiêú rôì!
Chắc là sau khi phân tích, bạn dùng Maple để quy đồng chứ gì?
Mình nghĩ là nếu tay không tính toán mà dám khẳng định phân tích đúng 99% thì thật khó tin!
Dù sao thì có lẽ cách của bạn vẫn đúng.
Xin chúc mừng!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:30

[tanpham90]

Đặt a=x b=y c=z f(x,y,z)=VT-VP
Thay 1=xy+yz+xz ! Ta có :
$ f(x,y,z)= \sum cyclic2(x-y)^{2}z^{4}[5y^{3}(z-x)+2y^{2}(4z^{2}+2xz-5x^{2})+y(4z^{3}+9z^{2}x+4zx^{2}-5x^{3})+z(z^{3}+4z^{2}x+8zx^{2}+5x^{3})]$
Giả sử $x \geq y \geq z$
Dễ dàng c/m $S_y \geq 0 , S_x \geq 0$
Ta có :
$S_y+S_z=5x^{3}(y+z)(y^{2}+z^{2})(y-z)^{2}+2x^{2}(4y^{6}+2y^{5}z-5y^{4}z^{2}-5y^{2}z^{4}+2yz^{5}+4z^{6})+x(4y^{7}+9y^{6}z+4y^{5}z^{2}-5y^{4}z^{3}-5y^{3}z^{4}+4y^{2}z^{5}+9yz^{6}+4z^{7})+y^{8}+4y^{7}z +8y^{6}z^{2}+5y^{5}z^{3}+5y^{3}z^{5}+8y^{2}z^{6}+4yz^{7}+z^{8}$
Đến đây thì thừa nhận luôn cũng được ! Hoặc dùng đạo hàm khảo sát hoặc "chia để trị" cũng được !
(Biến đổi trên đây chắc chắn đúng 99% !)
Dù sao thì em cũng ủng hộ nên làm cách khác chứ cách này ...........chịu sao thấu !
Các anh có cách nào hay hơn thì cứ post lên , OK ?

Bài này nếu dùng SOS thì chắc chắn phải "kiên nhẫn" rồi ! Em chỉ post bấy nhiêu thôi , chứ làm chi tiết thì chắc em cũng không đọc nói chi các anh ! Các anh thông cảm !

Hì, mình nghĩ bạn đã nói thiêú rôì!
Chắc là sau khi phân tích, bạn dùng Maple để quy đồng chứ gì?
Mình nghĩ là nếu tay không tính toán mà dám khẳng định phân tích đúng 99% thì thật khó tin!
Dù sao thì có lẽ cách của bạn vẫn đúng.
Xin chúc mừng!

Không phải Maple ! Chỉ đơn giản là TI-89 thôi ! (đó là phần đầu thôi , còn lại cũng phải "tay không đánh giặc" !)
Bài mới của anh Việt Anh nhìn thấy khó quá nhỉ ! (Em lại không rành về mấy bài tìm hằng số tốt nhất nữa !) Để làm thử xem sao ! Hi vọng là làm được !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:30

[khanh_nd]

Mời anh em giải bài sau
$\sum\dfrac{1}{a^{2}}-27(\sum\dfrac{ab}{c})^{-2}\geq\dfrac{1}{3}[\sum(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b})^{2}]$
Đối với bài này thì mình cũng mong được xem lời giải bằng mọi phương pháp bởi nó quá trâu nhưng hi vọng nhất là lời giải bằng S.O.S và phương pháp của sếp VA

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:31