Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Chứng minh rằng tồn tại dãy số thực $\{a_n \}$,với $a_n \in \left[0;\dfrac{\pi}{2} \right]$ sao cho $\cos{a_n}=a_n^{n}$.Tìm giới hạn cũa dãy đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 29-12-2011 - 12:12

[Crystal]

Bài toán: Chứng minh rằng tồn tại dãy số thực $\{a_n \}$,với $a_n \in \left[0;\dfrac{\pi}{2} \right]$ sao cho $\cos{a_n}=a_n^{n}$.Tìm giới hạn cũa dãy đó.

Ta có: $\cos {a_n} = a_n^n \Leftrightarrow a_n^n - \cos {a_n} = 0 \Leftrightarrow {f_n}\left( {{a_n}} \right) = 0$ với ${f_n}\left( x \right) = {x^n} - \cos x,\,\,x \in \left[ {0,\dfrac{\pi }{2}} \right]$.

Suy ra: $f_n^'\left( x \right) = n{x^{n - 1}} + \sin x \ge 0 \Rightarrow {f_n}\left( x \right)$ tăng trên $\left[ {0,\dfrac{\pi }{2}} \right]$.

Mặt khác: $${f_n}\left( 0 \right){f_n}\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - {\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)^n} < 0 \Rightarrow \exists {a_n} \in \left[ {0,\dfrac{\pi }{2}} \right]:\,{f_n}\left( {{a_n}} \right) = 0$$

Dễ thấy $0 < {a_n} < 1$. Giả sử với $n$ nào đó sao cho ${a_{n + 1}} < {a_n}$. Vì ${a_n},{a_{n + 1}} \in \left( {0,\dfrac{\pi }{2}} \right)$ nên $\cos {a_{n + 1}} > \cos {a_n}$.

Vậy $a_{n + 1}^{n + 1} - a_n^n = \cos {a_{n + 1}} - \cos {a_n} > 0 \Rightarrow a_{n + 1}^n > a_{n + 1}^{n + 1} > a_n^n \Rightarrow {a_{n + 1}} > {a_n}$, mâu thuẫn.

Suy ra ${a_{n + 1}} \ge {a_n}$ hay $\left\{ {{a_n}} \right\}$ là dãy tăng. Do $\left\{ {{a_n}} \right\}$ bị chặn trên bởi $1$ nên tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L$.

Chuyển qua giới hạn cho $\cos {a_n} = a_n^n \Leftrightarrow {a_n} = {\left( {\cos {a_n}} \right)^{\dfrac{1}{n}}}$ ta được $L = {\left( {\cos L} \right)^0} = 1$

Vậy $\boxed{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 1}$