Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho $a,b,c > 0$. Tìm GTNN của :
$$P = \dfrac{a^{2012}+1}{b}+\dfrac{b^{2012}+1}{c}+\dfrac{c^{2012}+1}{a}-\dfrac{2}{a+b+c}$$

[minhtuyb]

Bài toán :
Cho $a,b,c > 0$. Tìm GTNN của :
$$P = \dfrac{a^{2012}+1}{b}+\dfrac{b^{2012}+1}{c}+\dfrac{c^{2012}+1}{a}-\dfrac{2}{a+b+c}$$

Có $-\dfrac{2}{a+b+c}=-\dfrac{2}{9}.\dfrac{9}{a+b+c}\geq -\dfrac{2}{9}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$. Suy ra
$P=\frac{a^{2012}+\frac{7}{9}}{b}+\dfrac{b^{2012}+\frac{7}{9}}{c}+\dfrac{c^{2012}+\frac{7}{9}}{a}+\frac{2}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-\frac{2}{a+b+c}$
$\geq \dfrac{a^{2012}+\frac{7}{9}}{b}+\dfrac{b^{2012}+\frac{7}{9}}{c}+\dfrac{c^{2012}+\frac{7}{9}}{a}$
Có: $\frac{a^{2012}+\frac{7}{9}}{b}=\frac{a^{2012}+\frac{7}{9.2011}+\frac{7}{9.2011}+...+\frac{7}{9.2011}}{b}\geq \frac{2012\sqrt[2012]{a^{2012}.\frac{7^{2011}}{18099^{2011}}}}{b}=2012\sqrt[2012]{\frac{7^{2011}}{18099^{2011}}}.\frac{a}{b}$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng vào ta có:
$P\geq 2012\sqrt[2012]{\frac{7^{2011}}{18099^{2011}}}.(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq 6036\sqrt[2012]{\frac{7^{2011}}{18099^{2011}}}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[2012]{\frac{7}{18099}}$
Lần sau a cho bài số đẹp tí nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 13-04-2012 - 22:14