Chủ đề này có 5 trả lời

[abcde0101]

Bài 1:
Cho a,b là các số nguyên dương sao cho:
$\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là các số nguyên.
Gọi d là ước của a và b.
CM: $d^{2}\leq a+b$
Bài 2:
Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}=1$
CM: $\frac{1}{2}\leq (x^{3}+y^{3})^{2}\leq 1$
Bài 3:
Cho x,y thỏa mãn điều kiện:
$-1\leq x+y\leq 1$ và $-1\leq xy+x+y\leq 1$
CM: $\left | x \right |\leq 2;\left | y \right |\leq 2$

[davildark]

Bài 1
$$\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$$
Để $\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$ là số nguyên thì $ab|a^2+b^2+a+b$
Mà $$d^2|ab \rightarrow d^2|a^2+b^2+a+b$$
Lại có $$d^2|a^2+b^2$$
$$\rightarrow d^2|a+b \rightarrow d^2\le a+b$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 06-05-2012 - 11:32

[Katyusha]

Bài 2:
Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}=1$
CM: $\frac{1}{2}\leq (x^{3}+y^{3})^{2}\leq 1$

Do $x^2+y^2=1$ nên $(x+y)^2 \le 2(x^2+y^2)=2$
Cauchy-Schwarz:
$$(x^3+y^3)^2(x+y)^2 \ge (x^2+y^2)^4=1 \Rightarrow (x^3+y^3)^2 \ge \dfrac{1}{(x+y)^2} \ge \dfrac{1}{2}$$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Lại do $x,y \ge 0$ và $x^2+y^2=1$ nên $0 \le x,y \le 1$.
Do đó: $x^2(x-1) \ge 0 \Leftrightarrow x^3 \le x^2$
Tương tự: $y^3 \le y^2$
Vậy:
$$(x^3+y^3)^2 \le (x^2+y^2)^2=1$$
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y)=(1;0)$ và hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 06-05-2012 - 11:33

[minh29995]

Bài 3:
Giả sử có ít nhất 1 trong 2 số có trị tuyệt đối lớn hơn 2. Không mất tính Tq giả sử là x
Khi đó để $\left |x+y \right |\leq 1$
thì $\left |y \right |> 1$
Suy ra $\left |xy \right |> 2$
mà $\left |x+y \right |\leq 1$ nên
$\left |x+y+xy \right |> 1$ trái với giả thiết. Do đó
$\left |x \right |\leq 2, \left |y \right |\leq 2$

[davildark]

Bài 3 cách khác ( không biết đúng không)
Theo giả thiết ta có
$|x+y|\le1$ và $|xy+x+y|\le2|$
$\rightarrow |x+y|+|xy+x+y|\le 2$
Mà $$\left | x+y \right |+\left | xy+x+y \right |=\left | x+y \right |+\left | -xy-x-y \right |\geq \left | -xy \right |=\left | xy \right |$$
$$\rightarrow |xy|\le2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-05-2012 - 08:27

[davildark]

Bạn suy ra $\left |xy \right |\leq 2$ thì không thể suy ra Đpcm vì
VD: x=2,5 và $y= \frac{-4}{5}$

nếu chọn như anh thì x+y >1 rồi trái giả thiết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 06-05-2012 - 12:21