Bài 1:
Cho a,b là các số nguyên dương sao cho:
$\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là các số nguyên.
Gọi d là ước của a và b.
CM: $d^{2}\leq a+b$
Bài 2:
Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}=1$
CM: $\frac{1}{2}\leq (x^{3}+y^{3})^{2}\leq 1$
Bài 3:
Cho x,y thỏa mãn điều kiện:
$-1\leq x+y\leq 1$ và $-1\leq xy+x+y\leq 1$
CM: $\left | x \right |\leq 2;\left | y \right |\leq 2$
Bất đẳng thức: CM: $\left | x \right |\leq 2;\left | y \right |\leq 2$
Bắt đầu bởi abcde0101, 05-05-2012 - 20:56
Bất đẳng thức
#1
Đã gửi 05-05-2012 - 20:56
#2
Đã gửi 06-05-2012 - 11:16
Bài 1
$$\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$$
Để $\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$ là số nguyên thì $ab|a^2+b^2+a+b$
Mà $$d^2|ab \rightarrow d^2|a^2+b^2+a+b$$
Lại có $$d^2|a^2+b^2$$
$$\rightarrow d^2|a+b \rightarrow d^2\le a+b$$
$$\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$$
Để $\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$ là số nguyên thì $ab|a^2+b^2+a+b$
Mà $$d^2|ab \rightarrow d^2|a^2+b^2+a+b$$
Lại có $$d^2|a^2+b^2$$
$$\rightarrow d^2|a+b \rightarrow d^2\le a+b$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 06-05-2012 - 11:32
- nguyenta98 và abcde0101 thích
#3
Đã gửi 06-05-2012 - 11:28
Do $x^2+y^2=1$ nên $(x+y)^2 \le 2(x^2+y^2)=2$Bài 2:
Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}=1$
CM: $\frac{1}{2}\leq (x^{3}+y^{3})^{2}\leq 1$
Cauchy-Schwarz:
$$(x^3+y^3)^2(x+y)^2 \ge (x^2+y^2)^4=1 \Rightarrow (x^3+y^3)^2 \ge \dfrac{1}{(x+y)^2} \ge \dfrac{1}{2}$$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Lại do $x,y \ge 0$ và $x^2+y^2=1$ nên $0 \le x,y \le 1$.
Do đó: $x^2(x-1) \ge 0 \Leftrightarrow x^3 \le x^2$
Tương tự: $y^3 \le y^2$
Vậy:
$$(x^3+y^3)^2 \le (x^2+y^2)^2=1$$
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y)=(1;0)$ và hoán vị.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 06-05-2012 - 11:33
- nguyenta98 và abcde0101 thích
#4
Đã gửi 06-05-2012 - 11:43
Bài 3:
Giả sử có ít nhất 1 trong 2 số có trị tuyệt đối lớn hơn 2. Không mất tính Tq giả sử là x
Khi đó để $\left |x+y \right |\leq 1$
thì $\left |y \right |> 1$
Suy ra $\left |xy \right |> 2$
mà $\left |x+y \right |\leq 1$ nên
$\left |x+y+xy \right |> 1$ trái với giả thiết. Do đó
$\left |x \right |\leq 2, \left |y \right |\leq 2$
Giả sử có ít nhất 1 trong 2 số có trị tuyệt đối lớn hơn 2. Không mất tính Tq giả sử là x
Khi đó để $\left |x+y \right |\leq 1$
thì $\left |y \right |> 1$
Suy ra $\left |xy \right |> 2$
mà $\left |x+y \right |\leq 1$ nên
$\left |x+y+xy \right |> 1$ trái với giả thiết. Do đó
$\left |x \right |\leq 2, \left |y \right |\leq 2$
- Cao Xuân Huy, nguyenta98, davildark và 1 người khác yêu thích
${\color{DarkRed} \bigstar\bigstar \bigstar \bigstar }$ Trần Văn Chém
#5
Đã gửi 06-05-2012 - 11:48
Bài 3 cách khác ( không biết đúng không)
Theo giả thiết ta có
$|x+y|\le1$ và $|xy+x+y|\le2|$
$\rightarrow |x+y|+|xy+x+y|\le 2$
Mà $$\left | x+y \right |+\left | xy+x+y \right |=\left | x+y \right |+\left | -xy-x-y \right |\geq \left | -xy \right |=\left | xy \right |$$
$$\rightarrow |xy|\le2$$
Theo giả thiết ta có
$|x+y|\le1$ và $|xy+x+y|\le2|$
$\rightarrow |x+y|+|xy+x+y|\le 2$
Mà $$\left | x+y \right |+\left | xy+x+y \right |=\left | x+y \right |+\left | -xy-x-y \right |\geq \left | -xy \right |=\left | xy \right |$$
$$\rightarrow |xy|\le2$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-05-2012 - 08:27
#6
Đã gửi 06-05-2012 - 12:21
nếu chọn như anh thì x+y >1 rồi trái giả thiếtBạn suy ra $\left |xy \right |\leq 2$ thì không thể suy ra Đpcm vì
VD: x=2,5 và $y= \frac{-4}{5}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 06-05-2012 - 12:21
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Bất đẳng thức
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh