Chủ đề này có 1 trả lời

[wannabeforyou]

Chứng minh không tồn tại các số nguyên dương a,b,n sao cho
$\left ( 9+\sqrt[]{61} \right )^{n}+\left ( 9-\sqrt{61} \right )^{n}=a.2^{b+n+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wannabeforyou: 13-06-2012 - 20:40

[perfectstrong]

Lời giải:(vắn tắt)
Đặt $S_n=(9+\sqrt{61})^n+(9-\sqrt{61})^n$ với $n \in \mathbb{N}^*$
Bằng quy nạp, ta chứng minh được các khẳng định sau:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
S_{n + 2} = 18S_{n + 1} - 20S_n \\
S_n \in N,\forall n \in N \\
\end{array} \right.
\]
Ngoài ra, ta có các khẳng định quan trọng sau: Với $v_2(x)$ là bậc của $2$ trong phân tích tiêu chuẩn của $x$ tự nhiên.
Nếu $n \not \vdots 3 \Rightarrow v_2(S_n)=n, (1)$.
Nếu $n \vdots 3 \Rightarrow v_2(S_n)=n+1, (2)$.
Pt đã cho trở thành
\[
S_n = a.2^{n + b + 1} \Rightarrow 2^{n + b + 1} |S_n \Rightarrow v_2 \left( {S_n } \right) \ge n + b + 1 \ge n + 2 > n + 1;n
\]
Trái với khẳng định $(1),(2)$. Vậy pt đã cho vô nghiệm nguyên dương $a,b,n$.