Cho a,b,c,d không âm.Chứng minh rằng $\sum$a4+2abcd $\geq$ a2b2+a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+c2d2
----------
@WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây.
Chứng minh rằng: \[\sum {{a^4} + 2abcd \ge \sum {{a^2}{b^2}} } \]
Bắt đầu bởi trungdung97, 20-06-2012 - 16:40
Chứng minh rằng
#2
Đã gửi 22-06-2012 - 17:04
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Bài này là Bất đẳng thức Tukervici . Đây là lời giài trong cuốn Sáng tạo BĐT
Giả sử $a\geq b\geq c\geq d$. Xét $f(a;b;c;d)=a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd-a^2b^2-b^2c^2-c^2d^2-d^2a^2-a^2c^2-b^2d^2=a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd-a^2c^2-b^2d^2-(a^2+c^2)(b^2+d^2)$
$$\Rightarrow f(a;b;c;d)-f(\sqrt{ac};b;\sqrt{ac};d)=(a^2-c^2)^2-(b^2+d^2)(a-c)^2\geq 0$$
Do đó theo định lý $S.M.V$ xét với phép biến đổi $\Delta$ của $(a;b;c)$ ta cần chứng minh BĐT xảy ra khi $a=b=c=t\geq d$. BĐT này tương đương: $$3t^4+d^4+2t^3d\geq 3t^4+3t^2d^2\iff d^4+t^3d+t^3d\geq 3t^2d^2$$
Hiển nhiên đúng theo Am-GM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d$ hoặc $a=b=d;d=0$ và các hoán vị $\square$
Giả sử $a\geq b\geq c\geq d$. Xét $f(a;b;c;d)=a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd-a^2b^2-b^2c^2-c^2d^2-d^2a^2-a^2c^2-b^2d^2=a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd-a^2c^2-b^2d^2-(a^2+c^2)(b^2+d^2)$
$$\Rightarrow f(a;b;c;d)-f(\sqrt{ac};b;\sqrt{ac};d)=(a^2-c^2)^2-(b^2+d^2)(a-c)^2\geq 0$$
Do đó theo định lý $S.M.V$ xét với phép biến đổi $\Delta$ của $(a;b;c)$ ta cần chứng minh BĐT xảy ra khi $a=b=c=t\geq d$. BĐT này tương đương: $$3t^4+d^4+2t^3d\geq 3t^4+3t^2d^2\iff d^4+t^3d+t^3d\geq 3t^2d^2$$
Hiển nhiên đúng theo Am-GM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d$ hoặc $a=b=d;d=0$ và các hoán vị $\square$
- WhjteShadow yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Chứng minh rằng
 
|
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$x^5 + y^5 +z^5 > x^2 +y^2 +z^2$Bắt đầu bởi NoEmotion, 22-12-2015  chứng minh rằng
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$x^5 + y^5 +z^5 > x^2 +y^2 +z^2$Bắt đầu bởi NoEmotion, 22-12-2015 chứng minh rằng
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
Tính: $S=2^{2}C_{n}^{2}-3^{2}C_{n}^{3}+...+\left ( -1 \right )^{n}n^{2}C_{n}^{n}$Bắt đầu bởi hoangvan0105, 02-08-2015 chứng minh rằng, cho số nguyên n và .
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho n>=1, chứng minh n(n+1)....(2n-1) chia hết cho 2^{n-1}Bắt đầu bởi phucminhlu99, 14-03-2015 chứng minh rằng
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$(6+6^2+6^3+6^4)$ chia hết cho $7$Bắt đầu bởi lemai , 25-07-2014 chứng minh rằng, chứng minh
|
|
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
