Chủ đề này có 4 trả lời

[pnt]

Chứng minh rằng: Tồn tại vô số số chính phương một số lẻ chữ số, có đúng một chữ số $1$ trong biễu diễn thập phân và chữ số $1$ đứng thứ ở vị trí chính giữa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 16-10-2013 - 12:00
Đã sửa!

[bangbang1412]

Chứng minh rằng: Tồn tại vô số số chính phương một số lẻ chữ số, có đúng một chữ số $1$ trong biễu diễn thập phân và chữ số $1$ đứng thứ ở vị trí chính giữa.

Các số chính phương với $n=1$ là $1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676,729,784,841,900,961,1024$ , rõ ràng với $n=1$ không có số thỏa mãn nên đề bài sai

[hxthanh]

Đề bài đã được chỉnh sửa lại!

[bangbang1412]

Xét số $a_{1}a_{2}....a_{n}1000.....000=A$ có đúng $n$ chữ số $0$ đằng sau

Xét $n$ chẵn , ta tìm các chữ số khác $1$ sao cho $a_{1}........a_{n}1$  là số chính phương

Đặt $10a_{1}a_{2}.........a_{n}=(m-1)(m+1)$

Ta lại có phân tích sau $a_{1}......a_{n}=10^{n}.a_{1}+10^{n-1}.a_{2}+..............+10a_{n-1}+a_{n}$

Dễ thấy $m$ là số lẻ , mà đề bài chỉ yêu cầu chứng minh tồn tại vô số  nên chọn $m=10k+1$

Ta có phương trình $10^{n}.a_{1}+..............+10a_{n-1}+a_{n}=k(10k+2)$

Chỉ cần chứng minh tồn tại vô số các $k(10k+2)$ sao cho nó không chứa chữ số $1$ trong phân tích chuẩn

Hay $2k(5k+1)=10^{s}.a$ trong đó $a$ không chứa số $1$ ở biểu diễn thập phân

Chọn $2k=10^{s}.v$ ta có $v(5k+1)=a$

Ta chọn $s$ tùy ý sao cho $a$ không có $1$ trong biểu diễn thập phân

Ta nhận thấy $k=5.10^{s-1}.v$ nên  ta có $v^{2}.5.10^{s-1}+v=a$

Chọn $v=2$ ta thấy $a$ không chứa số $1$ trong biểu diễn thập phân.

Ai làm giúp em cái TH $n$ lẻ đi  

Mà hình như bài toán không đúng với trường hợp $n$ lẻ , $n=1$ là ví dụ điển hình 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 15-10-2013 - 19:11

[chanhquocnghiem]

Chứng minh rằng: Tồn tại vô số số chính phương gồm $2n+1$ chữ số $(n>1)$, có đúng một chữ số $1$ trong biễu diễn thập phân và chữ số đứng thứ $n+1$ là $1$.

" Chứng minh rằng tồn tại vô số số chính phương gồm $2n+1$ chữ số ... "

Suy nghĩ kỹ thì thấy đề này không ổn !

Nếu hiểu rằng " Cm rằng $\forall n> 1$, tồn tại vô số số chính phương gồm $2n+1$ chữ số ... " thì rất vô lý vì $\forall n$, số số chính phương có $2n+1$ chữ số dù có nhiều đến đâu cũng là số hữu hạn, không thể là VÔ SỐ được

Vậy cần hiểu đề như sau :

" Chứng minh rằng có vô số số chính phương có đúng một số lẻ chữ số, trong đó có đúng $1$ chữ số $1$ và chữ số $1$ đó nằm ở vị trí chính giữa "

Đây mới đúng là cách hiểu chính xác !

Chứng minh :

Xét các số $A_{k}$ có dạng :

$A_{k}=\overline{4000...004000...001000...00}$ (giữa 2 cs 4 có $k$ cs 0, giữa cs 4 và cs 1 có $k$ cs 0, sau cs 1 có $2k+2$ cs 0, $k\in N$)

---> $A_{k}=4.10^{4k+4}+4.10^{3k+3}+10^{2k+2}=(2.10^{2k+2}+10^{k+1})^2$

Rõ ràng $A_{k}$ là số chính phương có đúng $4k+5$ chữ số, trong đó chỉ có đúng $1$ cs $1$ và cs $1$ đó nằm ở vị trí chính giữa.

Vì $k$ có thể lấy bất cứ giá trị nào thuộc $N$ nên có VÔ SỐ số chính phương $A_{k}$ thỏa mãn ĐK đề bài (đpcm)

Ví dụ : $A_{0}=44100;A_{1}=404010000;A_{2}=4004001000000;...$

----------------------------------------------------

Thay vì các số $A_{k}$, ta cũng có thể xét các số $B_{k}$ có dạng :

$B_{k}=\overline{9000...006000...001000...00}$ (giữa cs 9 và cs 6 có $k$ cs 0, giữa cs 6 và cs 1 có $k$ cs 0, sau cs 1 có $2k+2$ cs 0, $k\in N$)

(Cách làm hoàn toàn tương tự)