Tìm f:$\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa $f(xf(y)+x)=xy+f(x)$ ,$\forall x,y\in \mathbb{R}$
#1
Đã gửi 30-09-2012 - 18:59
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 30-09-2012 - 19:18
$(*)$:Tìm f:$\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa $f(xf(y)+x)=xy+f(x)$(*) ,$\forall x,y\in \mathbb{R}$
-Ta có $f$ đơn ánh.
Thật vậy,lấy $x_0\neq 0$ và $y_1,y_2$: $f(y_1)=f(y_2)=a$:
$(*)\Rightarrow x_0y_1=x_0y_2=f(x_0a+x_0)-f(x_0)\Rightarrow y_1=y_2$
-Ta cố định $x=x_0\neq 0$, vế phải là một hàm bậc nhất theo y, ta có f toàn ánh...
-Lấy $x\in R$ và $y=a_1$ sao cho: $f(a_1)=0$:
$(*)\Rightarrow f(x)=a_1x+f(x)$
Hay $a_1x=0\forall x$
Nên: $a_1=0$ , $f(0)=0$
-Lấy $x\in R$ và $y=a_2$ sao cho: $f(a_2)=-1$:
$(*)\Rightarrow f(0)=a_2x+f(x)$
Hay $f(x)=-a_2x$
-Với $f(a_2)=-1$, thế lại, ta có:
$a_2^2=1$
được $a_2=1$ hoặc $a_2=-1$
Thế lại, thỏa.
Vậy phương trình có 2 nghiệm: $f(x)=x$ và $f(x)=-x$
- perfectstrong, namcpnh, bbboylion và 4 người khác yêu thích
^^~
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Bắt đầu bởi Explorer, 07-08-2022 pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Bắt đầu bởi poset, 18-05-2021 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 11-06-2018 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Bắt đầu bởi namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh