Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Tìm f:$\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa $f(xf(y)+x)=xy+f(x)$ ,$\forall x,y\in \mathbb{R}$

[robin997]

Tìm f:$\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa $f(xf(y)+x)=xy+f(x)$(*) ,$\forall x,y\in \mathbb{R}$

$(*)$:
-Ta có $f$ đơn ánh.
Thật vậy,lấy $x_0\neq 0$ và $y_1,y_2$: $f(y_1)=f(y_2)=a$:
$(*)\Rightarrow x_0y_1=x_0y_2=f(x_0a+x_0)-f(x_0)\Rightarrow y_1=y_2$
-Ta cố định $x=x_0\neq 0$, vế phải là một hàm bậc nhất theo y, ta có f toàn ánh...
-Lấy $x\in R$ và $y=a_1$ sao cho: $f(a_1)=0$:
$(*)\Rightarrow f(x)=a_1x+f(x)$
Hay $a_1x=0\forall x$
Nên: $a_1=0$ , $f(0)=0$
-Lấy $x\in R$ và $y=a_2$ sao cho: $f(a_2)=-1$:
$(*)\Rightarrow f(0)=a_2x+f(x)$
Hay $f(x)=-a_2x$
-Với $f(a_2)=-1$, thế lại, ta có:
$a_2^2=1$
được $a_2=1$ hoặc $a_2=-1$
Thế lại, thỏa.
Vậy phương trình có 2 nghiệm: $f(x)=x$ và $f(x)=-x$