Bài 8: Cho đa thức $f(x)$ bậc $4$ có hệ số cao nhất bằng $1$. Biết $f(1)=3,f(3)=11,f(5)=27$. Tính $A=7f(6)+f(-2)$
$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d.$
Chọn đa thức phụ $g(x)=x^2+2$
Dễ thấy $g(1)=3,g(3)=11,g(5)=27$
Xét đa thức $h(x)=f(x)-g(x)$
$\Rightarrow$ $h(1)=f(1)-g(1)=3-3=0$
Tương tự, ta có: $h(3)=h(5)=0$
Do đó $h(x)$ có các nghiệm $1;3;5.$
Mặt khác $h(x)=f(x)-g(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d-x^2-2=x^4+ax^3+(b-1)x^2+cx+(d-2)$
nên $h(x)$ có bậc cao nhất là $4$ và có hệ số là $1.$
$\Rightarrow$ $h(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x+k)=x^4+ax^3+(b-1)x^2+cx+(d-2)$
Ta có: $h(0)=(-1)(-3)(-5)k=d-2$
$\Rightarrow$ $k=\frac{d-2}{-15}$
Do đó $h(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x-\frac{d-2}{15})$
Ta có:
$f(x)=h(x)+g(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x-\frac{d-2}{15})+x^2+2$
Tới đây thay $x=6$ để tính $7f(6)$ và thay $x=-2$ để tính $f(-2)$
Sau đó công hai kết quả lại sẽ khử được $d$ và tính được giá trị của $A.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 15-12-2012 - 10:14