Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn:$\frac{1}{a^2+8}+\frac{1}{b^2+8}+\frac{1}{c^2+8}=\frac{1}{3}$.Tìm GTLN và GTNN của $P=a+b+c$.

[WhjteShadow]

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn:$\frac{1}{a^2+8}+\frac{1}{b^2+8}+\frac{1}{c^2+8}=\frac{1}{3}$.Tìm GTLN và GTNN của $P=a+b+c$.

Em xin làm bài a Phúc
Từ giả thiết ta có:
$$\frac{1}{a^2+8}=\frac{1}{6}-\frac{1}{b^2+8}+\frac{1}{6}-\frac{1}{c^2+8}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{a^2+8}=\frac{1}{6}.\left(\frac{b^2+2}{b^2+8}+\frac{c^2+2}{c^2+8}\right)\geq \frac{1}{3}.\sqrt{\frac{(b^2+2)(c^2+2)}{(b^2+8)(c^2+8)}}$$
Tương tự và nhân các bất đẳng thức 2 vế dương vừa thu được ta có:
$$27\geq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\,\,\,(*)$$
Cuối cùng ta sẽ đi chứng minh:
$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^2\,\,\,(**)$$
Thật vậy áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$(a^2+2).\left[1+\frac{(b+c)^2}{2}\right]\geq (a+b+c)^2$$
Nên ta chỉ cần chứng minh:
$$(b^2+2)(c^2+2)\geq 3.\left[1+\frac{(b+c)^2}{2}\right]$$
Điều này tương đương với:
$$b^2c^2+\frac{1}{2}(b^2+c^2)-3bc+1\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (bc-1)^2+\frac{1}{2}(b-c)^2\geq 0\,\,\,(True)$$
Vậy nên từ $(*)$ và $(**)$ ta có:
$$(a+b+c)^2\leq 9$$
$$\Leftrightarrow -3\leq a+b+c\leq 3$$
Vậy $P_{Max}=3$ khi $a=b=c=1$,$P_{Min}=-3$ khi $a=b=c=-1$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 19-10-2012 - 11:32