CMR $\frac{bc}{a+3b+2c} + \frac{ca}{b+3c+2a} + \frac{ab}{c+3a+2b} \leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 16-12-2012 - 22:53
$\frac{bc}{a+3b+2c} + \frac{ca}{b+3c+2a} + \frac{ab}{c+3a+2b} \leq 1$
Bắt đầu bởi Nguyễn Hoàng Hảo, 16-12-2012 - 20:27
bất đẳng thức
#1
Đã gửi 16-12-2012 - 20:27
Nguyễn Hoàng Hảo
-
- Thành viên
-
- 72 Bài viết
Hạ sĩ
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=6
CMR $\frac{bc}{a+3b+2c} + \frac{ca}{b+3c+2a} + \frac{ab}{c+3a+2b} \leq 1$
CMR $\frac{bc}{a+3b+2c} + \frac{ca}{b+3c+2a} + \frac{ab}{c+3a+2b} \leq 1$
#2
Đã gửi 16-12-2012 - 21:02
N H Tu prince
-
- Thành viên
-
- 388 Bài viết
Sĩ quan
#4
Đã gửi 16-12-2012 - 22:34
Oral1020
-
- Thành viên
-
- 1225 Bài viết
Thịnh To Tướng
Bạn không rõ chỗ nào vậy?Khác mà
thử rồi mà áp dụng k đc nơi
ghi rõ ra coi??
Bạn lạ vì $\le \dfrac{a+b+c}{6}$ phải không thì mình thay $a+b+c=6$ là được mà
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#5
Đã gửi 17-12-2012 - 11:32
Nguyễn Hoàng Hảo
-
- Thành viên
-
- 72 Bài viết
Hạ sĩ
Không phải, đề khác cái đề đó nên khi biến đổi sẽ không trở thành a+b+c/6 đc??Bạn không rõ chỗ nào vậy?
Bạn lạ vì $\le \dfrac{a+b+c}{6}$ phải không thì mình thay $a+b+c=6$ là được mà
#6
Đã gửi 17-12-2012 - 16:39
Katyusha
-
- Thành viên
-
- 461 Bài viết
Sĩ quan
Theo Cauchy-Schwarz:
$$\dfrac{bc}{a+3b+2c}=\dfrac{bc}{a+b+c+b+c+b}=\dfrac{bc}{3\dfrac{a+b+c}{3}+2\dfrac{b+c}{2}+b}$$
$$ \le \dfrac{1}{6^2}\left(\dfrac{3bc}{\dfrac{a+b+c}{3}}+\dfrac{2bc}{\dfrac{b+c}{2}}+\dfrac{bc}{b} \right)=\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{9bc}{a+b+c}+\dfrac{4bc}{b+c}+c \right) $$
$$\le \dfrac{1}{36}\left(\dfrac{9bc}{6}+\dfrac{(b+c)^2}{b+c}+c\right)= \dfrac{1}{36}\left(\dfrac{3bc}{2}+b+2c\right)$$
Tương tự cho 2 phân thức còn lại, ta có:
$$LHS \le \dfrac{1}{36}\left(\dfrac{3(ab+bc+ca)}{2}+3(a+b+c)\right)$$
$$\le \dfrac{1}{36}\left(\dfrac{(a+b+c)^2}{2}+18\right)$$
$$=\dfrac{1}{36}(18+18)=1$$
$$\dfrac{bc}{a+3b+2c}=\dfrac{bc}{a+b+c+b+c+b}=\dfrac{bc}{3\dfrac{a+b+c}{3}+2\dfrac{b+c}{2}+b}$$
$$ \le \dfrac{1}{6^2}\left(\dfrac{3bc}{\dfrac{a+b+c}{3}}+\dfrac{2bc}{\dfrac{b+c}{2}}+\dfrac{bc}{b} \right)=\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{9bc}{a+b+c}+\dfrac{4bc}{b+c}+c \right) $$
$$\le \dfrac{1}{36}\left(\dfrac{9bc}{6}+\dfrac{(b+c)^2}{b+c}+c\right)= \dfrac{1}{36}\left(\dfrac{3bc}{2}+b+2c\right)$$
Tương tự cho 2 phân thức còn lại, ta có:
$$LHS \le \dfrac{1}{36}\left(\dfrac{3(ab+bc+ca)}{2}+3(a+b+c)\right)$$
$$\le \dfrac{1}{36}\left(\dfrac{(a+b+c)^2}{2}+18\right)$$
$$=\dfrac{1}{36}(18+18)=1$$
- N H Tu prince yêu thích
#7
Đã gửi 17-12-2012 - 19:49
Sagittarius912
-
- Thành viên
-
- 776 Bài viết
Trung úy
sử dụng bdt Schwarz ta có:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=6
CMR $\frac{bc}{a+3b+2c} + \frac{ca}{b+3c+2a} + \frac{ab}{c+3a+2b} \leq 1$
$\frac{bc}{a+3b+2c}\leq \frac{1}{9}(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{c}{2})$
tương tự ta có
$\frac{ca}{b+3c+2a}\leq \frac{1}{9}(\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{a}{2})$
$\frac{ab}{c+3a+2b}\leq \frac{1}{9}(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{a+b}+\frac{b}{2})$
cộng 3 bdt trên ta có
$VT\leq \frac{1}{9}(\frac{a+b+c}{2}+\frac{ca+ab}{a+c}+\frac{ab+bc}{a+b}+\frac{bc+ca}{b+c})=\frac{1}{9}(a+b+c+\frac{a+b+c}{2})=1$
dấu "=" khi $a=b=c=2$
- Mai Xuan Son yêu thích
#8
Đã gửi 17-12-2012 - 20:19
Nguyễn Hoàng Hảo
-
- Thành viên
-
- 72 Bài viết
Hạ sĩ
vì sao lại thế đc bạnTheo Cauchy-Schwarz:
$$\dfrac{bc}{a+3b+2c}=\dfrac{bc}{a+b+c+b+c+b}=\dfrac{bc}{3\dfrac{a+b+c}{3}+2\dfrac{b+c}{2}+b}$$
$$ \le \dfrac{1}{6^2}\left(\dfrac{3bc}{\dfrac{a+b+c}{3}}+\dfrac{2bc}{\dfrac{b+c}{2}}+\dfrac{bc}{b} \right)=\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{9bc}{a+b+c}+\dfrac{4bc}{b+c}+c \right) $$
$$\le \dfrac{1}{36}\left(\dfrac{9bc}{6}+\dfrac{(b+c)^2}{b+c}+c\right)= \dfrac{1}{36}\left(\dfrac{3bc}{2}+b+2c\right)$$
Tương tự cho 2 phân thức còn lại, ta có:
$$LHS \le \dfrac{1}{36}\left(\dfrac{3(ab+bc+ca)}{2}+3(a+b+c)\right)$$
$$\le \dfrac{1}{36}\left(\dfrac{(a+b+c)^2}{2}+18\right)$$
$$=\dfrac{1}{36}(18+18)=1$$
bạn làm đúng rồi mà mình chưa hiểu nơi
bạn giải thích cái hàng thứ 2 đi
#9
Đã gửi 17-12-2012 - 23:47
Katyusha
-
- Thành viên
-
- 461 Bài viết
Sĩ quan
Mình dùng Cauchy-Schwarz dạng phân thức cho 6 số đó bạn.vì sao lại thế đc bạn
bạn làm đúng rồi mà mình chưa hiểu nơi
bạn giải thích cái hàng thứ 2 đi
#10
Đã gửi 18-12-2012 - 10:59
Nguyễn Hoàng Hảo
-
- Thành viên
-
- 72 Bài viết
Hạ sĩ
ukMình dùng Cauchy-Schwarz dạng phân thức cho 6 số đó bạn.
mình hiểu rồi
thanks nghe<3
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024  bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
