Chủ đề này có 1 trả lời

[19kvh97]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.CMR
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$

[Sagittarius912]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.CMR
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$

chém gió tí:
quy đồng, ta cần chứng minh:

$\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq 1$ (*)

mặt khác với $a+b+c=3$ thì ta có:

$9abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq (ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{\left [ (a+b+c)^{2} \right ]^{3}}{27}=27$

(AM-GM)

$\Rightarrow abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq 3$ (1)

lại sử dụng AM-GM tiếp

$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\geq 3abc(a+b+c)$ (2)

thay (1)(2) vào (*) ta có dpcm
Dấu = khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 28-12-2012 - 19:11