Chủ đề này có 1 trả lời

[Sagittarius912]

Cho $A=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}{2}$ là số chính phương ( a,b,c là các số nguyên)
CMR $a=b=c$

[nguyenta98]

Cho $A=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}{2}$ là số chính phương ( a,b,c là các số nguyên)
CMR $a=b=c$

Giải như sau:
$\dfrac{2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{4}=t^2$
$\Rightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=(2t)^2$
Nhận thấy $(2t)^2 \vdots 4 \Rightarrow (a-b),(b-c),(c-a)$ phải cùng chẵn
Suy ra $(a-b)=2x,(b-c)=2y,(c-a)=2z$
Nên $x^2+y^2+z^2=t^2$ với $x+y+z=0$ chẵn
Thấy $t^2 \equiv 0,1 \pmod{4} \Rightarrow (x,y,z)$ có hai khả năng, một là cùng chẵn hai là một lẻ hai chẵn nhưng do $x+y+z=0$ chẵn
Suy ra $x,y,z$ cùng chẵn nên $x=2x',y=2y',z=2z',t=2t'$
Nên $x'^2+y'^2+z'^2=t'^2$ với $x+y+z=2(x'+y'+z')=0 \Rightarrow x'+y'+z'=0$
Đến đây làm tiếp tục lùi vô hạn suy ra $x=y=z=0 \Rightarrow a=b=c \Rightarrow Q.E.D$

Cách giải khác
Giải như sau:
$\dfrac{a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)}{2}=t^2 \Rightarrow (a-b)^2-(b-c)(c-a)=2t^2$
Đặt $a-b=x,b-c=y,c-a=z \Rightarrow x+y+z=0$
Do đó $x^2-yz=2t^2$ thay $x=-(y+z)$
Suy ra $(y+z)^2-yz=2t^2$
$\Rightarrow y^2+yz+z^2=2t^2$
$\Rightarrow y^2+yz+(z^2-2t^2)=0$
$\Rightarrow \Delta_y=z^2-4(z^2-2t^2)=k^2 \Rightarrow 8t^2=k^2+3z^2$ $(1)$
Thấy $k^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$ nhưng nếu $k^2 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow t^2 \equiv 2 \pmod{3}$ vô lý
Suy ra $k \vdots 3 \Rightarrow t \vdots 3$
Giả sử $(t,k,z)$ là bộ nghiệm sao cho $t+k+z$ nhỏ nhất của $(1)$
Theo cmt suy ra $t=3t',k=3k' \Rightarrow 3z^2 \vdots 9 \Rightarrow z \vdots 3 \Rightarrow z=3z'$
Suy ra $8t'^2=k'^2+3z'^2$ nên $(t',k,z')$ cũng là nghiệm của $(1)$ mà $t'+k'+z'<t+k+z$ mâu thuẫn với sự nhỏ nhất của $t+k+z$
Do đó suy ra $k=t=z=0$
Chứng minh tương tự suy ra $y=0,x=0 \Rightarrow a=b=c \Rightarrow Q.E.D$