Chủ đề này có 1 trả lời

[letrongvan]

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ sao cho:$$f(f(x)+y)=f(x^{2}-y)+4f(x).y$ với $ \forall x,y\in R$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 15-02-2013 - 23:12

[Joker9999]

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ sao cho:$$f(f(x)+y)=f(x^{2}-y)+4f(x).y$ với $ \forall x,y\in R$$

Đơn giản rồi:
Lời giải:
Chọn $y=\frac{x^2-f(x)}{2}$ như vậy $4f(x)\frac{x^2-f(x)}{2}=0$ do đó $f(x)=0$ hoặc $f(x)=x^2$
Giả sử có $a,b#0$ thoả $f(a)=0,f(b)=b^2$. Thay $x=a,y=b$ vào pt ban đầu có:
$f(f(a)+b)=f(a^2-b)+4f(a)b\Rightarrow b^2=f(a^2-b)=(a^2-b)^2\Rightarrow a^2=2b$
Thay $x=a,y=2b$ thì $f(f(a)+2b)=f(a^2-2b)+4f(a)2b\Leftrightarrow f(2b)=0$
Ket hợp lại thì $(2b)^2=2b\Rightarrow b=\frac{1}{2}$
Như vậy $f(x)#0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ và $f(x)=\frac{1}{4}$
Cho $x=\frac{1}{\sqrt{2}},y=0$ vào ta được: $f(f(\frac{1}{\sqrt{2}}))=f(\frac{1}{2})\Rightarrow 0=\frac{1}{4}$ vô lý
Kết luận:
$f(x)=0$ hoặc $f(x)=x^2$