Chủ đề này có 1 trả lời

[viet 1846]

 Tính:

 

\[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {ln\left( {1 - yco{s^2}x} \right)dx\,(y < 1)} \]

 

[phudinhgioihan]

 Tính:

 

\[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {ln\left( {1 - yco{s^2}x} \right)dx\,(y < 1)} \]

 

Dễ thấy $F(x,y)=\ln(1-y\cos^2x) $ liên tục trên $[0;\frac{\pi}{2}] \times (-\infty;1) $ và $ \dfrac{\delta F}{\delta y}=\dfrac{-\cos^2 x}{1-y \cos^2 x}$ cũng liên tục trên $[0;\frac{\pi}{2}] \times (-\infty;1) $ nên

 

 $f(y)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(1-y\cos^2x) dx $ khả vi trên $(-\infty;1 )$

 

$$f'(y) =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{-\cos^2 x}{1-y \cos^2 x}dx $$

 

$$=\left\{\begin{matrix} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{y}(1-\dfrac{1}{1-y\cos^2 x})dx & \;\;, y \neq 0\\-\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2 x=-\dfrac{\pi}{4} & \;\;, y=0\end{matrix}\right.$$

 

Với $y \neq 0$

 

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{y}(1-\dfrac{1}{1-y\cos^2 x})dx =\dfrac{\pi}{2y}-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{dx}{\sin^2 x+(1-y) \cos^2 x} $$

 

$$\underset{t=\cot x}{=} \dfrac{\pi}{2y}+\int_{+\infty}^0 \dfrac{dt}{1+(1-y)t^2} =\dfrac{\pi}{2y}(1-\dfrac{1}{\sqrt{1-y}})$$

 

$\int f'(y)=\dfrac{\pi}{2} \ln \left| \dfrac{y \sqrt{1-y}+y}{\sqrt{1-y}-1}\right| +C $

 

Do $f(0)=0 $ và $\lim_{y \to 0} \ln \left| \dfrac{y \sqrt{1-y}+y}{\sqrt{1-y}-1}\right| =2 \ln 2 $

 

nên $f(y)=\dfrac{\pi}{2} \left( \ln \left| \dfrac{y \sqrt{1-y}+y}{\sqrt{1-y}-1}\right| -2\ln 2 \right) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 24-05-2013 - 01:44