Chủ đề này có 1 trả lời

[viet 1846]

Cho trường vecto $\vec F = ({y^n} + {z^n})\vec i + ({z^n} + {x^n})\vec j + ({x^n} + {y^n})\vec k $

L là giao tuyến của hai mặt $x^2+y^2+z^2=1$ và $2x+2y+2z=1$ chứng minh rằng: Lưu số dọc theo $L$ của $\vec{F}$ bằng $0$ với $n\in Z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 23-05-2013 - 16:29

[hoangcuong12a3]

Lưu số K = $\int (y^{n}+z^{n})dx+(z^{n}+x^{n})dy+(x^{n}+y^{n})dz$ ; đường lấy tích phân là biên của mặt $2x + 2y + 2z = 1$ nằm trong mặt cầu $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

 

=> mặt kín nên áp dụng công thức stokes ta được :$K=n\int \int [(y^{n-1}-z^{n-1})cos\alpha +(z^{n-1}-x^{n-1})cos\beta +(x^{n-1}-y^{n-1})cos\gamma ]ds$ = 0$

 

Lấy tích phân theo mặt (S) 2x+2y+2z=1 hướng theo giao tuyến đơn vị mặt (S) nằm trong mặt cầu $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

 

Giờ ta đi tìm giao tuyến mặt (S) ; 

 

Xét $F(x,y,z)=2x+2y+2z-1=0$ 

 

Ta có

$F'_{x}=F'_{y}=F'_{z}=2$ 

 

và      $\sqrt{F'^{2}_{x}+F'^{2}_{y}+F'^{2}_{z}}=2\sqrt{3}$

 

=> $\vec{n}_{s} = (\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$

 

=> $K=n\int \int [(y^{n-1}-z^{n-1})\frac{1}{\sqrt{3}} +(z^{n-1}-x^{n-1})\frac{1}{\sqrt{3}}+(x^{n-1}-y^{n-1})\frac{1}{\sqrt{3}} ]ds$ =0

 

=> đpcm

 

........................

@vo van duc: Đã sửa Latex cũng như định dạng lại cho dể nhìn hơn. hihi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 12-06-2013 - 12:28