Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 15-02-2013 - 23:12
$f(f(x)+y)=f(x^{2}-y)+4f(x).y$ với $ \forall x,y\in R$
Bắt đầu bởi letrongvan, 15-02-2013 - 22:54
hoàng quốc việt phudinhgioihan
#1
Đã gửi 15-02-2013 - 22:54
Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ sao cho:$$f(f(x)+y)=f(x^{2}-y)+4f(x).y$ với $ \forall x,y\in R$$
Tào Tháo
#2
Đã gửi 16-02-2013 - 11:15
Đơn giản rồi:Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ sao cho:$$f(f(x)+y)=f(x^{2}-y)+4f(x).y$ với $ \forall x,y\in R$$
Lời giải:
Chọn $y=\frac{x^2-f(x)}{2}$ như vậy $4f(x)\frac{x^2-f(x)}{2}=0$ do đó $f(x)=0$ hoặc $f(x)=x^2$
Giả sử có $a,b#0$ thoả $f(a)=0,f(b)=b^2$. Thay $x=a,y=b$ vào pt ban đầu có:
$f(f(a)+b)=f(a^2-b)+4f(a)b\Rightarrow b^2=f(a^2-b)=(a^2-b)^2\Rightarrow a^2=2b$
Thay $x=a,y=2b$ thì $f(f(a)+2b)=f(a^2-2b)+4f(a)2b\Leftrightarrow f(2b)=0$
Ket hợp lại thì $(2b)^2=2b\Rightarrow b=\frac{1}{2}$
Như vậy $f(x)#0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ và $f(x)=\frac{1}{4}$
Cho $x=\frac{1}{\sqrt{2}},y=0$ vào ta được: $f(f(\frac{1}{\sqrt{2}}))=f(\frac{1}{2})\Rightarrow 0=\frac{1}{4}$ vô lý
Kết luận:
$f(x)=0$ hoặc $f(x)=x^2$
- perfectstrong và nguyenta98 thích
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hoàng quốc việt, phudinhgioihan
Toán Đại cương →
Giải tích →
Tính lưu số của trường vecto $\vec{F}$Bắt đầu bởi viet 1846, 23-05-2013 phudinhgioihan |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Tính $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {ln\left( {1 - yco{s^2}x} \right)dx\,(y < 1)} $Bắt đầu bởi viet 1846, 23-05-2013 phudinhgioihan |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh