Cho số tự nhiên $n>1$. Người ta tô màu tất cả các số tự nhiên bằng 2 màu xanh và đỏ thỏa mãn 2 đk:
1) Mỗi số chỉ được tô một màu và mỗi màu được dùng để tô vô hạn số.
2) Tổng của $n$ số phân biệt cùng màu, là một số cũng có màu đó.
Hỏi cách tô trên có thể thực hiện được hay không ?
Nếu $n$ là số lẻ thì hoàn toàn thực hiện được. Tô tất cả số chẵn cùng màu đỏ, số lẻ cùng màu xanh. Khi đó, cách tô trên là thỏa vì:
(i) Mỗi số được tô bởi đúng 1 màu và có vô hạn lần tô mỗi màu (vì có vô hạn số lẻ, số chẵn)
(ii) Tổng $n$ số cùng màu là một số cùng màu vì tổng $n$ số lẻ là một số lẻ (vì $n$ lẻ) và tổng $n$ số chẵn là một số chẵn.
======================================
Nhưng nếu $n$ chẵn thì "có thể" không tô được. Nhưng không biết chứng minh sao