Chủ đề này có 1 trả lời

[Sagittarius912]

Cho 4 số tự nhiên thỏa mãn tính chất: Bình phương của tống 2 số bất kì chia hết cho tích hai số còn lại. CMR có ít nhất 3 trong 4 số đó phải bằng nhau

[nguyenta98]

Cho 4 số tự nhiên thỏa mãn tính chất: Bình phương của tống 2 số bất kì chia hết cho tích hai số còn lại. CMR có ít nhất 3 trong 4 số đó phải bằng nhau

Giải như sau:
Gọi $4$ số là $x,y,z,t$ với $x=fa,y=fb,z=fc,t=fd$ với $gcd(a,b,c,d)=1$
Khi ấy ta có
$(a+b)^2 \vdots cd$
$(a+c)^2 \vdots bd$
$(a+d)^2 \vdots bc$
$(b+c)^2 \vdots ad$
$(b+d)^2 \vdots ac$
$(c+d)^2 \vdots ab$
Giả sử $c \vdots p \Rightarrow (a+b)^2 \vdots p \Rightarrow a+b \vdots p$ với $p$ nguyên tố
Tương tự ta cũng có $a+d,b+d \vdots p$
Như vậy $a+b+a+d-b-d \vdots p \Rightarrow 2a \vdots p$
Nếu $p>2$ suy ra $a \vdots p$ khi đó cm tương tự cũng có $2b \vdots p,2d \vdots p \Rightarrow a,b,c,d \vdots p$ vô lí vì $gcd(a,b,c,d)=1$
Do đó $p=2$ hoặc $c=1$ ($c$ không có ước nguyên tố)
Nếu $p=2$ suy ra $c \vdots 2$ nên $c=2^r$ (do mọi ước $p$ ng tố của $c$ chỉ là $2$) nhưng nếu $c \vdots 8$ thì theo trên có $a+b \vdots 4$ và $a+d,b+d$ cũng vậy thì $2a \vdots 4$ thì $a$ chẵn, khi ấy $(b+d)^2 \vdots ac$ nên $b,d$ cùng tính chẵn lẻ nhưng chúng không thể cùng chẵn (do $gcd(a,b,c,d)=1$) suy ra $b,d$ lẻ nhưng khi ấy $(a+d)^2$ lẻ trong khi $bc$ chẵn, vô lí, do đó $c=2$ hoặc $4$ khi ấy lập luận với các số khác ta sẽ cm được có $3$ số bằng $1$ khi đó trong $x,y,z,t$ có 3 số bằng nhau và bằng $f$ đpcm
Nếu $c=1$ lập luận tương tự ba số còn lại cũng ra đpcm

Thôi được rồi, mình sẽ nói đầy đủ
Nếu $p=2$ khi đó $c$ chẵn, ta chứng minh được $c=2,4$ rồi
Mặt khác ta thấy $a,b,d$ ắt phải lẻ toàn bộ vì nếu tồn tại một trong số chúng chẵn, giả sử là $a$ thì từ $(b+d)^2 \vdots ac \Rightarrow b+d$ chẵn nên $b,d$ cùng lẻ (vì nếu cùng chẵn thì $gcd(a,b,c,d)\vdots 2$ vô lí) do đó $b,c$ củng lẻ nhưng khi ấy xét $(a+b)^2 \vdots cd$ ta có $a+b$ phải chẵn mà $a$ chẵn $b$ lẻ nên mâu thuẫn, như vậy $a,b,d$ ắt cùng lẻ, mặt khác ta có lúc này vai trò $a,b,d$ tương tự như $c$ rồi nên cũng giả sử $a \vdots p$ từ đó $p=2$ hoặc $a=1$ nhưng $a$ lẻ nên $a=1$ lập luận tương tự $b=d=1$ nên có $đpcm$
Nếu $c=1$ thì lúc này $c$ sẽ là 1 trong ba số $a,b,d$ ở trường hợp trên nên lập luận tương tự ta cũng có $đpcm$ như vậy ít nhất ba số trong $a,b,c,d$ bằng $1$ khi ấy giả sử $a=b=c=1 \Rightarrow x=y=z=f$ đpcm