Tìm tất cả các hàm $f: R \to R$ thỏa mãn:
$f(f(x) + y) = f(x + y) + xf(y) - xy - x + 1$
Bài T11/394, THTT.
Bài này khá hay, mình đăng lại cho các bạn tham khảo.
Tìm tất cả các hàm $f: R \to R$ thỏa mãn:
$f(f(x) + y) = f(x + y) + xf(y) - xy - x + 1$
Bài T11/394, THTT.
Bài này khá hay, mình đăng lại cho các bạn tham khảo.
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Tìm tất cả các hàm $f: R \to R$ thỏa mãn:
$f(f(x) + y) = f(x + y) + xf(y) - xy - x + 1$
Bài T11/394, THTT.
Bài này khá hay, mình đăng lại cho các bạn tham khảo.
Lời giải:
\[
f(f(x) + y) = f(x + y) + xf(y) - xy - x + 1,\forall x,y \in R,\left( 1 \right)
\]
Trong (1), thay $y$ bởi $0$, ta thu được:\[
f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( x \right) + xf\left( 0 \right) - x + 1,\forall x \in R,\left( 2 \right)
\]
Trong (1), thay $y$ bởi $f(y)$ và kết hợp (2), ta có:\[
\begin{array}{l}
f\left( {f\left( x \right) + f\left( y \right)} \right) = f\left( {f\left( y \right) + x} \right) + xf\left( {f\left( y \right)} \right) - xf\left( y \right) - x + 1 \\
= \left( {f\left( {x + y} \right) + yf\left( x \right) - xy - y + 1} \right) + \left( {xf\left( y \right) + xyf\left( 0 \right) - xy + x} \right) - xf\left( y \right) - x + 1 \\
= f\left( {x + y} \right) + yf\left( x \right) - \left( {2 - f\left( 0 \right)} \right)xy - y + 2,\forall x,y \in R,\left( 3 \right) \\
\end{array}
\]
Đổi chỗ $x,y$ rồi so sánh, ta có:\[
yf\left( x \right) - y = xf\left( y \right) - x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = 1 \\
\frac{{f\left( x \right) - 1}}{x} = \frac{{f\left( y \right) - 1}}{y},\forall x,y \in R^* \\
\end{array} \right.
\]
Suy ra \[
f\left( x \right) = ax + 1,\forall x \in R
\]
Viết lại (2)\[
f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( x \right) + 1
\]
Thay $x$ bởi $0$, ta có $$f(1)=f(0)+1=2=a+1 \Rightarrow a=1 \Rightarrow f(x)=x+1$$
Thử lại:
\[
\begin{array}{l}
VT\left( 1 \right) = x + y + 2 \\
VP\left( 1 \right) = x + y + 1 + x\left( {y + 1} \right) - xy - x + 1 = x + y + 2 \\
\end{array}
\]
Kết luận: $f(x)=x+1\,\forall x \in R$
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Bắt đầu bởi Explorer, 07-08-2022 pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Bắt đầu bởi poset, 18-05-2021 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 11-06-2018 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Bắt đầu bởi namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh