Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Tìm tất cả các hàm $f: R \to R$ thỏa mãn:

 

$f(f(x) + y) = f(x + y) + xf(y) - xy - x + 1$

 

Bài T11/394, THTT.

Bài này khá hay, mình đăng lại cho các bạn tham khảo.

[perfectstrong]

Tìm tất cả các hàm $f: R \to R$ thỏa mãn:

 

$f(f(x) + y) = f(x + y) + xf(y) - xy - x + 1$

 

Bài T11/394, THTT.

Bài này khá hay, mình đăng lại cho các bạn tham khảo.

Lời giải:

\[
f(f(x) + y) = f(x + y) + xf(y) - xy - x + 1,\forall x,y \in R,\left( 1 \right)
\]
Trong (1), thay $y$ bởi $0$, ta thu được:\[
f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( x \right) + xf\left( 0 \right) - x + 1,\forall x \in R,\left( 2 \right)
\]

Trong (1), thay $y$ bởi $f(y)$ và kết hợp (2), ta có:\[
\begin{array}{l}
 f\left( {f\left( x \right) + f\left( y \right)} \right) = f\left( {f\left( y \right) + x} \right) + xf\left( {f\left( y \right)} \right) - xf\left( y \right) - x + 1 \\
  = \left( {f\left( {x + y} \right) + yf\left( x \right) - xy - y + 1} \right) + \left( {xf\left( y \right) + xyf\left( 0 \right) - xy + x} \right) - xf\left( y \right) - x + 1 \\
  = f\left( {x + y} \right) + yf\left( x \right) - \left( {2 - f\left( 0 \right)} \right)xy - y + 2,\forall x,y \in R,\left( 3 \right) \\
 \end{array}
\]
Đổi chỗ $x,y$ rồi so sánh, ta có:\[
yf\left( x \right) - y = xf\left( y \right) - x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 f\left( 0 \right) = 1 \\
 \frac{{f\left( x \right) - 1}}{x} = \frac{{f\left( y \right) - 1}}{y},\forall x,y \in R^*  \\
 \end{array} \right.
\]
Suy ra \[
f\left( x \right) = ax + 1,\forall x \in R
\]
Viết lại (2)\[
f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( x \right) + 1
\]
Thay $x$ bởi $0$, ta có $$f(1)=f(0)+1=2=a+1 \Rightarrow a=1 \Rightarrow f(x)=x+1$$

Thử lại:

\[
\begin{array}{l}
 VT\left( 1 \right) = x + y + 2 \\
 VP\left( 1 \right) = x + y + 1 + x\left( {y + 1} \right) - xy - x + 1 = x + y + 2 \\
 \end{array}
\]
Kết luận: $f(x)=x+1\,\forall x \in R$