Chủ đề này có 1 trả lời

[19kvh97]

Với $l_a,l_b,l_c,r,R$ lần lượt là độ dài các đường phân giác hạ từ các đỉnh $A,B,C$ bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, CMR

$l_a+l_b+l_c\leq r+4R$

 

[dark templar]

Với $l_a,l_b,l_c,r,R$ lần lượt là độ dài các đường phân giác hạ từ các đỉnh $A,B,C$ bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, CMR

$l_a+l_b+l_c\leq r+4R$

Dễ dàng có $l_{a} \le m_{a}$,với $m_{a}$ là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ nên ta sẽ chứng minh 1 BĐT chặt hơn là:

$$\boxed{\displaystyle m_{a}+m_{b}+m_{c} \le r+4R}$$

 

Xét 2 trường hợp:

==========

$(\star) \quad \Delta ABC$ nhọn.

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,AC,AB$.

 

Theo định lý Ptoleme áp dụng vào các tứ giác nội tiếp $OPAN,ONCM,OPBM$ ta sẽ có:

\[\left\{ \begin{array}{l}c.ON + b.OP = a.R\\a.OP + c.OM = b.R\\b.OM + a.ON = c.R\end{array} \right. \Rightarrow a\left( {OP + ON} \right) + b\left( {OM + OP} \right) + c\left( {OM + ON} \right) = R\left( {a + b + c} \right)\]

 

Mặt khác:

\[{S_{ABC}} = {S_{OAB}} + {S_{OBC}} + {S_{OAC}} \Leftrightarrow a.OM + b.ON + c.OP = \left( {a + b + c} \right)r\]

 

Từ đó:

\[OM + ON + OP = R + r\quad \left(  *  \right)\]

Spoiler

$(*)$ được gọi là định lý Carnot.

 

Theo BĐT tam giác:

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{m_a} = AM \le AO + OM = R + OM\\{m_b} \le R + ON\\{m_c} \le R + OP\end{array} \right.\\\Rightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} \le 3R + OM + ON + OP = 4R + r\end{array}\]

 

==========

$(\star\star) \quad \Delta ABC$ không nhọn.Giả sử $A \ge 90^0$.

Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ABC,kẻ $IJ \perp AB$.

 

Ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{m_a} = AM = \frac{{\sqrt {4AC.AB\cos A - B{C^2}} }}{2} \le \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\\{m_b} = BN < BP + PN = \frac{{c + a}}{2}\\{m_c} = CP < CN + NP = \frac{{b + a}}{2}\end{array} \right.\\\Rightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} < 2a + \frac{{b + c - a}}{2}\end{array}\]

 

Mà $a=2R\sin A \le 2R$ và $\Delta AIJ$ có $\widehat{JAI} \ge 45^0 \ge \widehat{JIA} \implies IJ \ge AJ \implies \frac{b+c-a}{2} \le r$ nên:

$$m_{a}+m_{b}+m_{c}<4R+r$$