Chủ đề này có 4 trả lời

[ngohuongbg65]

 Cho xyz=1. Chứng minh :
$\frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{z^{2}}{1+x}\geq \frac{3}{2}$

[Mr Peter]

Áp dụng BĐT Schwarz

$\frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{z^{2}}{1+x}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{1+y+1+z+1+x}\geq \frac{3^{2}}{3+3}=\frac{3}{2}$

vì$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$

[lovemath99]

Áp dụng BĐT Schwarz

$\frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{z^{2}}{1+x}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{1+y+1+z+1+x}\geq \frac{3^{2}}{3+3}=\frac{3}{2}$

vì$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$

 

Xem lại lời giải ngay!!!

 

$\frac{(x+y+z)^{2}}{1+y+1+z+1+x} \leq \frac{3^{2}}{3+3}$

[1110004]

 Cho xyz=1. Chứng minh :
$\frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{z^{2}}{1+x}\geq \frac{3}{2}$

ta có

$\frac{x^{2}}{1+y}+\frac{1+y}{4}\geq x$

$\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{1+z}{4}\geq y$

$\frac{z^{2}}{1+x}+\frac{1+x}{4}\geq z$

suy ra $\frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{z^{2}}{1+x}+\frac{1+y}{4}+\frac{1+z}{4}+\frac{1+x}{4}\geq (x+y+z)$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{z^{2}}{1+x}\geq \frac{3(x+y+z)}{4}-\frac{3}{4}\geq \frac{3}{2}$

(do $x+y+x\geq 3$)

dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 10-06-2013 - 19:55

[dark templar]

Xem lại lời giải ngay!!!

 

$\frac{(x+y+z)^{2}}{1+y+1+z+1+x} \leq \frac{3^{2}}{3+3}$

Thật ra lời giải đó vẫn đúng,chỉ là không như bạn ấy giải thích thôi

 

Nếu đặt $t=x+y+z \ge 3$ thì ta cần chứng minh:

$$\frac{t^2}{t+3} \ge \frac{3}{2} \iff (2t+3)(t-3) \ge 0 \quad \text{ (Luôn đúng với $t \ge 3$) }$$