Chủ đề này có 2 trả lời

[ngohuongbg65]

Chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}+c^{2}}{a+c}\leq 3\left ( \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 13-06-2013 - 14:10

[19kvh97]

Chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}+c^{2}}{a+c}\leq 3\left ( \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c} \right )(*)$

biến đổi tương đương ta có 

$(*)\Leftrightarrow \frac{c(a^2+b^2)}{a+b}+\frac{a(b^2+c^2)}{b+c}+\frac{b(c^2+a^2)}{c+a}\leq a^2+b^2+c^2$

$\Leftrightarrow \sum (c^2-\frac{c(a^2+b^2)}{a+b})\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum (\frac{ac(c-a)+bc((c-b))}{a+b})\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum (\frac{ac(c-a)^2}{(a+b)(b+c)})\geq 0$(đpcm)

P/s.hi ko để ý là $a+b+c$ chưa dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 19kvh97: 15-06-2013 - 17:23

[dark templar]

Chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}+c^{2}}{a+c}\leq 3\left ( \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c} \right )$

BĐT này sai khi cho $a=-1;b=-2;c=-3$. Nếu có thêm điều kiện $a,b,c>0$ thì tham khảo cách giải ở trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 13-06-2013 - 14:20