Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+yf(x))+f(xf(y)-y)=f(x)-f(y)+2xy$

[thanhdotk14]

Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+yf(x))+f(xf(y)-y)=f(x)-f(y)+2xy(1)$

Bài giải:

Kí hiệu $P(u,v)$ chỉ việc thay $(x;y)$ bằng $(u;v)$ vào $(1)$

Ta có:$$P(0,0)\Rightarrow f(0)=0; P(0,x)\Rightarrow f(-x)=-f(x), \forall x\in \mathbb{R}(2)$$

Giả sử tồn tại $a\in\mathbb{R}$ sao cho $f(a)=0$. Khi đó:$$P(a,a)\Rightarrow f(a)+f(-a)=f(a)-f(a)+2a^2\Leftrightarrow 2a^2=0\Leftrightarrow a=0$$

Từ đó ta có: $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$

Xét $x\ne 0\Leftrightarrow f(x)\ne 0$. Khi đó lần lượt thực hiện: $P\left(x,\frac{x+y}{f(x)}\right);P\left(\frac{x+y}{f(x)},-x\right)$ ta được:

$f\left ( 2x+y \right )+f\left ( xf\left ( \frac{x+y}{f\left ( x \right )} \right ) -\frac{x+y}{f(x))}\right )=f\left ( x \right )-f\left ( \frac{x+y}{f\left ( x \right )} \right )+\frac{2x\left ( x+y \right )}{f\left ( x \right )}$

$f\left ( -xf\left(\frac{x+y}{f\left ( x \right )}\right)+\frac{x+y}{f\left ( x \right )} \right )-f\left ( y \right )=f\left ( \frac{x+y}{f\left ( x \right )}\right)+f\left ( x \right )-\frac{2x\left ( x+y \right )}{f\left ( x \right )}$

Cộng hai đẳng thức trên và sử dụng $(2)$ ta được:$$f(2x+y)=2f(x)+f(y), \forall y\in \mathbb{R}, x\ne 0(3)$$

Do $f(0)=0$ nên từ $(3)$ suy ra:$$f(2x+y)=2f(x)+f(y), \forall x,y\in \mathbb{R}(4)$$

Mặt khác: Với mọi số thực $b,c$, xét $x=y=\frac{2b+c}{3}\Rightarrow 2x+y=3x=2b+c$

Từ $(4)$ thay $x=y=\frac{2b+c}{3}$ ta được:$$f(2b+c)=3f\left(\frac{2b+c}{3}\right), \forall b,c \in \mathbb{R}$$

$$\Leftrightarrow f(2x+y)=3f\left(\frac{2x+y}{3}\right), \forall x,y\in \mathbb{R}(5)$$

Từ $(4), (5)$ ta suy ra:$$f\left(\frac{2x+y}{3}\right)=\frac{2f(x)+f(y)}{3}, \forall x,y\in \mathbb{R}(6)$$

Lấy $x\in \mathbb{R}$ tùy ý. Nếu $0\le \alpha \le 1$ thì:$$f(\alpha x)=f((1-\alpha)0+\alpha x)=(1-\alpha)f(0)+\alpha f(x)=\alpha f(x)(7)$$

Với $\alpha >1$, ta có: $0<\frac{1}{\alpha}<1, 0<1-\frac{1}{\alpha}<1$. Do đó:$$f(x)=f\left(\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)0+\frac{1}{\alpha}(\alpha x)\right)=\frac{1}{\alpha}f(\alpha x)$$

$$\Rightarrow f(\alpha x)=\alpha f(x), \forall x\in \mathbb{R}(8)$$

Với $\alpha <0\Rightarrow -\alpha >0$. Theo $(2), (8)$ ta có: $$f(\alpha x)=f(-(-\alpha x))=-\alpha f(-x)=\alpha f(x), \forall x\in \mathbb{R}(9)$$

Từ $(7), (8), (9)$ ta suy ra: $$f(kx)=kf(x), \forall k,x \in \mathbb{R}$$

Từ đó dễ dàng suy ra:$$f(x)=dx, \forall x\in \mathbb{R}, d=const$$

Thay $f(x)=dx$ vào $(1)$ ta được:$d=\pm1$ 

Vậy $f(x)=x, f(x)=-x, \forall x\in \mathbb{R}$

Thử lại thấy thỏa!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 21-06-2013 - 22:30