Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+yf(x))+f(xf(y)-y)=f(x)-f(y)+2xy$
#1
Đã gửi 19-06-2013 - 18:11
- thanhdotk14 yêu thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 21-06-2013 - 22:17
Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+yf(x))+f(xf(y)-y)=f(x)-f(y)+2xy(1)$
Bài giải:
Kí hiệu $P(u,v)$ chỉ việc thay $(x;y)$ bằng $(u;v)$ vào $(1)$
Ta có:$$P(0,0)\Rightarrow f(0)=0; P(0,x)\Rightarrow f(-x)=-f(x), \forall x\in \mathbb{R}(2)$$
Giả sử tồn tại $a\in\mathbb{R}$ sao cho $f(a)=0$. Khi đó:$$P(a,a)\Rightarrow f(a)+f(-a)=f(a)-f(a)+2a^2\Leftrightarrow 2a^2=0\Leftrightarrow a=0$$
Từ đó ta có: $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$
Xét $x\ne 0\Leftrightarrow f(x)\ne 0$. Khi đó lần lượt thực hiện: $P\left(x,\frac{x+y}{f(x)}\right);P\left(\frac{x+y}{f(x)},-x\right)$ ta được:
$f\left ( 2x+y \right )+f\left ( xf\left ( \frac{x+y}{f\left ( x \right )} \right ) -\frac{x+y}{f(x))}\right )=f\left ( x \right )-f\left ( \frac{x+y}{f\left ( x \right )} \right )+\frac{2x\left ( x+y \right )}{f\left ( x \right )}$
$f\left ( -xf\left(\frac{x+y}{f\left ( x \right )}\right)+\frac{x+y}{f\left ( x \right )} \right )-f\left ( y \right )=f\left ( \frac{x+y}{f\left ( x \right )}\right)+f\left ( x \right )-\frac{2x\left ( x+y \right )}{f\left ( x \right )}$
Cộng hai đẳng thức trên và sử dụng $(2)$ ta được:$$f(2x+y)=2f(x)+f(y), \forall y\in \mathbb{R}, x\ne 0(3)$$
Do $f(0)=0$ nên từ $(3)$ suy ra:$$f(2x+y)=2f(x)+f(y), \forall x,y\in \mathbb{R}(4)$$
Mặt khác: Với mọi số thực $b,c$, xét $x=y=\frac{2b+c}{3}\Rightarrow 2x+y=3x=2b+c$
Từ $(4)$ thay $x=y=\frac{2b+c}{3}$ ta được:$$f(2b+c)=3f\left(\frac{2b+c}{3}\right), \forall b,c \in \mathbb{R}$$
$$\Leftrightarrow f(2x+y)=3f\left(\frac{2x+y}{3}\right), \forall x,y\in \mathbb{R}(5)$$
Từ $(4), (5)$ ta suy ra:$$f\left(\frac{2x+y}{3}\right)=\frac{2f(x)+f(y)}{3}, \forall x,y\in \mathbb{R}(6)$$
Lấy $x\in \mathbb{R}$ tùy ý. Nếu $0\le \alpha \le 1$ thì:$$f(\alpha x)=f((1-\alpha)0+\alpha x)=(1-\alpha)f(0)+\alpha f(x)=\alpha f(x)(7)$$
Với $\alpha >1$, ta có: $0<\frac{1}{\alpha}<1, 0<1-\frac{1}{\alpha}<1$. Do đó:$$f(x)=f\left(\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)0+\frac{1}{\alpha}(\alpha x)\right)=\frac{1}{\alpha}f(\alpha x)$$
$$\Rightarrow f(\alpha x)=\alpha f(x), \forall x\in \mathbb{R}(8)$$
Với $\alpha <0\Rightarrow -\alpha >0$. Theo $(2), (8)$ ta có: $$f(\alpha x)=f(-(-\alpha x))=-\alpha f(-x)=\alpha f(x), \forall x\in \mathbb{R}(9)$$
Từ $(7), (8), (9)$ ta suy ra: $$f(kx)=kf(x), \forall k,x \in \mathbb{R}$$
Từ đó dễ dàng suy ra:$$f(x)=dx, \forall x\in \mathbb{R}, d=const$$
Thay $f(x)=dx$ vào $(1)$ ta được:$d=\pm1$
Vậy $f(x)=x, f(x)=-x, \forall x\in \mathbb{R}$
Thử lại thấy thỏa!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 21-06-2013 - 22:30
-----------------------------------------------------
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Bắt đầu bởi Explorer, 07-08-2022 pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Bắt đầu bởi poset, 18-05-2021 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 11-06-2018 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Bắt đầu bởi namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh