tieulyly1995

Bạn tham khảo tại đây

Tìm nghiệm dương của hệ PT :
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}- x_{3}= \frac{2012}{x_{1}x_{2}} \\ x_{2}+x_{3}- x_{4}= \frac{2012}{x_{2}x_{3}} \\ ....... \\ x_{2011}+x_{2012}- x_{1}= \frac{2012}{x_{2011}x_{2012}} \\ x_{2012}+x_{1}- x_{2}= \frac{2012}{x_{2010}x_{ 1}} \end{matrix}\right.$

Giải phương trình:
1.$\sqrt{3}\left ( 2cos^{2}x+cosx-2 \right )+\left ( 3-2cosx \right )sinx=0$

$PT \Leftrightarrow \sqrt{3}( sin^{2}x-cos x)- (3-2cos x ). sinx = 0$
$\Leftrightarrow (2sinx - \sqrt{3})(\sqrt{3}sinx +cos x)=0$

Hoặc em có thể sử dụng phương pháp hệ số bất định :
VD :
Phân tích đa thức thành nhân tử
$a) x^4+x^3-5x-3$
Ta viết như sau : $x^4+x^3-5x-3= (x^{2}+ax + b)(x^{2}+cx +d)$
Khi đó :
$\left\{\begin{matrix} a+c=1\\ b+d+ac=0 \\ ad+bc=-5 \\ bd=-3 \end{matrix}\right.$
từ tích $bd=-3$, có thể chọn $b=3$ , $d=-1$ .....

Giải phương trình: $$x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}$$

$PT \Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+1}-x)(\sqrt{x^{2}+1}-3)=0$

$=>$ thôi chứ sao $<=>$ được nhỉ

Sao lại $\Rightarrow$ chứ ko phải là $\Leftrightarrow$? Giải pt thì phải có dấu tương đương chứ

Bước bình phương thì không dùng dấu $\Leftrightarrow$, các bước sau dùng bình thường.
Chắc hoangtrong2305 viết thừa

Giải PT :
$x^5-15x^3+45x-27=0$

Xét $x\epsilon \left [ -2\sqrt{3} ; 2\sqrt{3}\right ]$ :
Đặt $x=2\sqrt{3}cost$ , $t\epsilon \left [ 0;\pi \right ]$
PT trở thành :
$288\sqrt{3} cos^{5}t-360\sqrt{3}cos^{3}t+90\sqrt{3}cost-27=0$
$\Leftrightarrow 2(16cos^{5}t-20cos^{}t+5cost)-\sqrt{3}=0$
$\Leftrightarrow cos5t= \frac{\sqrt{3}}{2}$

$t= \pm \frac{\pi}{30}+ k\frac{2\pi}{5}$
Do $t\epsilon \left [ 0;\pi \right ]$ nên

$t \epsilon \left \{ \frac{\pi}{30}; \frac{11\pi}{30}; \frac{13\pi}{30}; \frac{23\pi}{30} ; \frac{5\pi}{6}\right \}$

Vậy PT đã cho có 5 nghiệm : ...
Lưu ý : PT đề bài chỉ có tối đa 5 nghiệm nên khi xét $x\epsilon \left [ -2\sqrt{3} ; 2\sqrt{3}\right ]$ mà ta nhận được 5 nghiệm rồi thì không cần xét trường hợp còn lại

Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{array}{1}2\left (x^3 - y^3\right ) - x(x + 1)(x - 2) = 1 \\2\left (y^3 - z^3\right ) - y(y + 1)(y - 2) = 1 \\2\left (z^3 - x^3\right ) - z(z + 1)(z - 2) = 1 \end{array}\right.$$

Học sinh giỏi TP.Hồ Chí Minh 2008-2009

Ta có :



$$\left\{\begin{array}{1}
2y^3=x^3+x^2+2x-1\\ 2z^3=y^3+y^2+2y-1
\\ 2x^3=z^3+z^2+2z-1

\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{1}
2y^3= f(x)\\ 2z^3= f(y)
\\2x^3 = f(z)

\end{array}\right.$$
Xét $f(t)= t^{3}+ t^{2}+2t-1$
có : $f'(t)= 3t^{2}+ 2t+2 > 0, \forall t \epsilon R$
do đó $f(t)$ là hàm đồng biến
Giải sử : $x\geq y$
$\Leftrightarrow f(x)\geq f(y)\Leftrightarrow 2y^{3}\geq 2z^{3}$
$y\geq z \Leftrightarrow f(y)\geq f(z) \Leftrightarrow 2z^{3}\geq 2x^{3}$
$z\geq x \Leftrightarrow f(z)\geq f(x) \Leftrightarrow 2x^{3}\geq 2y^{3}\Leftrightarrow x\geq y$
Do đó : $x=y $
C/m tương tự : ...
Vậy $x=y=z$ thay vào hệ , giải PT ...

Giải PT nghiệm nguyên: $19x^3 - 98y^2 = 1998$

Ta thấy :
$x \equiv 0 ; \pm 1; \pm 2; \pm 3 (mod 7 )$
$\Rightarrow x^{3} \equiv 0 ; \pm 1 (mod 7 )$
$\Rightarrow 19x^{3} \equiv 0 ; 2; 5 (mod 7 )$
Mà $98 \equiv 0 (mod 7)$ nên $VT \equiv 0; 2; 5 (mod 7)$
Mặt khác : $VP= 1998 \equiv 3 (mod 7)$
Do đó : PT đã cho vô nghiệm

Cho số thực x thỏa mãn: ${x^5} - {x^3} + x = 2$
CMR: $3 < {x^6} < 4$

Tham khảo thêm ở đây

Đây là c/m đẳng thức, có phải tìm nghiệm đâu

Chứng minh rằng:
1..$\sin ^{8}x+\cos ^{8}=\frac{35}{64}+\frac{7}{16}\cos 4x+\frac{1}{64}\cos 8x$

Ta có :
$\sin ^{8}x+\cos ^{8}x= (sin^{4}x+cos^{4}x)^{2}-2sin^{4}xcos^{4}x $
$= (1-\frac{1}{2}sin^{2}2x)^{2}-2sin^{4}xcos^{4}x $
$= 1-4sin^{2}xcos^{2}x + 2sin^{4}xcos^{4}x$
$= 1-sin^{2}2x + 2(\frac{1}{4}sin^{2}2x)^{2} $
$= 1- \frac{1-cos4x}{2} + \frac{1}{8}(\frac{1-cos4x }{2})^{2}$
$ = \frac{1+cos4x}{2} + \frac{1}{8}(\frac{1-2cos4x + cos^{2}4x }{4})$
$= \frac{1+cos4x}{2} + \frac{1-2cos4x}{32}+ \frac{1+cos8x}{64}$
$=\frac{1}{64}cos 8x + \frac{7}{16}cos 4x + \frac{35}{64}$

Bài $2$ bạn làm tương tự nhé

Giải PT :
$\sqrt{2x^{2}-2x+1}+ \sqrt{2x^{2}- (\sqrt{3}-1)x+1}+\sqrt{2x^{2}+(\sqrt{3}+1)x+1)}=3$

BÀI TOÁN. Giải phương trình nghiệm nguyên: $\frac{{\left| {4x - 6y} \right| + \left| {9x - 6y} \right|}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \sqrt {313} $

ĐKXĐ : $x\neq 0, y\neq 0$

Nếu $(4x-6y)(9x-6y)\geq 0 $ (*) thì :
$ PT \Leftrightarrow \left | 13x-12y \right |=\sqrt{313(x^{2}+y^{2})} $
$ \Leftrightarrow (13x+12y)^{2}=0 \Leftrightarrow 13x+12y=0 $

$\left\{\begin{matrix} x=12t\\ y=-13t \end{matrix}\right. (t\epsilon Z, t\neq 0)$

Thay vào (*) thỏa mãn. Vậy nghiệm $(x,y)$ của hệ là $(12t; -13t)$ với $t\epsilon Z, t\neq 0$

Nếu $(4x-6y)(9x-6y) < 0 $ thì
$PT\Leftrightarrow \left | 5x \right |= \sqrt{313(x^{2}+y^{2})} $
$\Leftrightarrow288x^{2}+313y^{2}=0 $
$ \Leftrightarrow x=y=0 $ (loại )

Giải PT :
$x^{4}- 10x^{3}- 2(a-12)x^{2}+ 2(5a+2 )x+a^{2}-4= 0$

$$\left\{\begin{matrix}
x^{6}+\frac{2xy}{\sqrt[5]{x^{2}-2x+33}}=x^{2}+y^{6}\\
y^{6}+\frac{2xy}{\sqrt[5]{y^{2}-2y+33}}=y^{2}+x^{6}
\end{matrix}\right.$$

Cộng vế với vế, ta có :
$x^{2}+y^{2}= 2xy ( \frac{1}{\sqrt[5]{(x-1)^{2}+32}}+\frac{1}{\sqrt[5]{(y-1)^{2}+32}} )$
$\leq 2xy \left ( \frac{1}{\sqrt[5]{32}}+\frac{1}{\sqrt[5]{32}} \right )= 2xy$
Đẳng thức xảy ra khi $\left[ \begin{array}{l} x=y=0\\ x=y=1\end{array} \right.$

$256^{sin^{2}x}+256^{cos^{2}x}=81^{sin^{2}x}+81^{cos^{2}x}+49^{sin^{2}x}+49^{cos^{2}x}$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta được:
$256^{sin^{2}x} + 256^{cos^{2}x}\geq 2\sqrt{256^{sin^{2}x}.256^{cos^{2}x}}=2\sqrt{256^{sin^{2}x+cos^{2}x}}=32$

$81^{sin^{2}x} + 81^{cos^{2}x}\geq 2\sqrt{81^{sin^{2}x}.81^{cos^{2}x}}=2\sqrt{81^{sin^{2}x+cos^{2}x}}=18$

$49^{sin^{2}x} + 49^{cos^{2}x}\geq 2\sqrt{49^{sin^{2}x}.49^{cos^{2}x}}=2\sqrt{49^{sin^{2}x+cos^{2}x}}=14$
$\Longrightarrow 81^{sin^{2}x}+81^{cos^{2}x}+49^{sin^{2}x} + 49^{cos^{2}x}\geq 18+14=32$
Dấu "=" xảy ra khi: $sin^{2}x=cos^{2}x \Longleftrightarrow sin^{2}x=1-sin^{2}x \Longleftrightarrow sin^{2}x= \dfrac{1}{2}$
$ \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}.(1-cos2x)=\dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow cos2x=0 \Longleftrightarrow 2x= \dfrac{\pi}{2}+k\pi \Longleftrightarrow x= \dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}$ (k $\epsilon$Z)
P/s: Bài này e làm theo suy nghĩ của e nên ko biết đúng hay sai, nếu sai chỗ nào thì chị sửa lại cho e để e rút kinh nghiệm cho lần sau nhé

Em có chút nhầm lẫn. Em chứng minh $VT \geq 2, VP\geq 2$ thì sao suy ra dấu "=" được em