pcfamily

Giải phương trình:

 

$2x^{2}-6x+4=3\sqrt[3]{x^{3}+8}$

Gọi $11$ số đó là $a_1,\ a_2,\ ...,\ a_{10},\ a_{11}$ $(a_1,\ a_2,\ ...,\ a_{10},\ a_{11}\geq 0)$
Ta có:
$a_1=(a_2+a_3+...+a_{10}+a_{11})^2$
$a_2=(a_1+a_3+...+a_{10}+a_{11})^2$
.......
$a_{11}=(a_1+a_2+...+a_9+a_{10})^2$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a_1\geq a_2\geq a_3\geq ...\ \geq a_{11}$
Ta có:
$a_1-a_2=(a_2+a_3+...+a_{11}+a_1+a_3+...+a_{11})(a_2+a_3+...+a_{11}-a_1-a_3-...-a_{11})=(a_1+a_2+2a_3+...+2a_{11})(a_2-a_1)$
Vì $a_1\geq a_2$ và $a_1,\ a_2,\ ...,\ a_{11}\geq 0$ nên $VT\geq 0$ và $VP\leq 0$
Dấu bằng xảy ra khi $a_1=a_2=0$
Tương tự ta có: $a_2=a_3=0,$ $a_3=a_4=0,$ $a_4=a_5=0,...,$ $a_{10}=a_{11}=0.$
Vậy $a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=a_6=a_7=a_8=a_9=a_{10}=a_{11}=0$
________________

Chỗ này, chưa thể khẳng định $a_1=a_2=0$ được

Gọi $10$ số đó là $a_1,\ a_2,\ ...,\ a_{10}$ $(a_1,\ a_2,\ ...,\ a_{10}\geq 0)$ Ta có: $a_1=(a_2+a_3+...+a_{10})^2$ $a_2=(a_1+a_3+...+a_{10})^2$ ....... $a_{10}=(a_1+a_2+...+a_9)^2$ Không mất tính tổng quát, giả sử $a_1\geq a_2\geq a_3\geq ...\ \geq a_{10}$ Ta có: $a_1-a_2=(a_2+a_3+...+a_{10}+a_1+a_3+...+a_{10})(a_2+a_3+...+a_{10}-a_1-a_3-...-a_{10})=(a_1+a_2+2a_3+...+2a_{10})(a_2-a_1)$ Vì $a_1\geq a_2$ và $a_1,\ a_2,\ ...,\ a_{10}\geq 0$ nên $VT\geq 0$ và $VP\leq 0$ Dấu bằng xảy ra khi $a_1=a_2=0$ Tương tự ta có: $a_2=a_3=0,$ $a_3=a_4=0,$ $a_4=a_5=0,...,$ $a_9=a_{10}=0.$ Vậy $a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=a_6=a_7=a_8=a_9=a_{10}=0$

Bạn nhầm đề xíu thì phải, lời giải thì quá hay rồi

1,Dễ dàng chứng minh :$\Delta AOA'=\Delta OBB'$(cạnh huyền-góc nhọn) $\Rightarrow AA'=OB.$
Tương tự $DD'=OC"$.
Ta có:
$AA'^{2}+BB'^{2}+CC'^{2}+DD'^{2}=(OB^{2}+BB'^{2})+(CC'^{2}+OC^{2})=OB^{2}+OC^{2}=2.OB^{2}=BD^{2}=a^{2}$.
2,Nhận xét: Bài toán vẫn đúng trong trường hợp đường thẳng trùng với đường chéo của hình vuông.

Sau đó ta đi c/m BĐT phụ:
$$\dfrac{1}{a(1-2a)}\ge 27a\\ \Leftrightarrow (3a-1)^2(6a+1)\ge 0$$

Cái nầy chả là AM-GM là gì :-P

$\frac{1}{a(1-2a)}=\frac{a}{a.a(1-2a)}\geq \frac{a}{\frac{1}{27}}$

Bài 110:
Cho tam giác ABC, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. $d_{a},d_{b},d_{c}$ lần lượt là khoảng cách từ O đến BC, AC, AB.
a/ Chứng minh: $HA+HB+HC=2(d_{a}+d_{b}+d_{c})$
b/ Giả sử tam giác ABC nhọn. Chứng minh: $HA+HB+HC\geq 6r^{2}$
c/ Bất đẳng thức trong câu b/ còn đúng không khi góc A tù

Cho a,b,c dương; $a,b,c>0; abc\leq 1$. Chứng minh:

$a+b+c\geq ab+bc+ac$

Cho x,y,z dương và $x + \sqrt{xy} + \sqrt[3]{xyz} = \frac{4}{3}$
Tìm Min của x + y + z
Cách phân tích để áp dụng cô-si thế nào vậy?
Anh, chị chỉ giáo em!

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}=x+\frac{1}{2}\sqrt{x.4y}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{x.4y.16z}\leq x+\frac{x+4y}{4}+\frac{x+4y+16z}{12}=\frac{4}{3}(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\geq 1$
Bạn tự tìm dấu "=" nha

Cho a,b,c>0. Chứng minh:

$\frac{a^{2}+bc}{b+c}+\frac{b^{2}+ac}{a+c}+\frac{c^{2}+ab}{a+b}\geq a+b+c$

Cho các số a,b,c dương và $a+b+c\leq 3$. Tìm GTNN của

$P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2012}{ab+bc+ac}$

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

Bạn giải thích dòng này kỹ hơn được không

1/ Cho các số thực dương a,b,c và abc$\leq 1$. Chứng minh:

P=$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq a+b+c$

2/ Cho $a,b,c\geq 1$. Chứng minh:

$P= \frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{3}{abc+1}$

Tìm Min:$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$ với x khác 0

Tìm Min: $x^{2}+3x+\frac{1}{x}$ với x>0

À, bổ sung thêm là năm nay em lên lớp 9 nhé