DTH1412

giai phuong trinh sau

$x^{3}+2=3\sqrt[3]{3x-2}$

Đặt $\sqrt[3]{3x-2}=y$, ta được hệ $\left\{\begin{matrix} x^{3}=3y-2\\ y^{3}=3x-2 \end{matrix}\right.$ -> Giải hệ đối xứng loại 2 

Giải hệ phương trình :


\[\left\{ \begin{array}{l}
x\sqrt x - 8\sqrt y = \sqrt x + y\sqrt y \\
x - y = 5
\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}
x\sqrt x - 8\sqrt y = \sqrt x + y\sqrt y \\
x - y = 5
\end{array} \right.\]
ĐK: $x,y\geq 0$
Đặt $\sqrt{x}=a$ ;
$\sqrt{y}=b (a,b\geq 0)$
$\left\{\begin{matrix} a^{3}-b^{3}=a+8b\\ a^{2}-b^{2}=5 \end{matrix}\right.$
Khi a=b thì hệ vô nghiệm
Khi a$\neq$b chia từng vế của 2pt trong hệ ta được
$\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a+b} = \frac{a+8b}{5}$$\Rightarrow 4a^{2}-4ab-3b^{2}=0 (2)$
Kết hợp $(2)$ với $a^{2}-b^{2}=5$ ta đc hệ
$\left\{\begin{matrix} a^{2}=5+b^{2}\\ 4(5+b^{2})-4ab-3b^{2}=0 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}=5+b^{2}\\ 20+b^{2}=4ab \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{20+b^{2}}{4b}\\ (\frac{20+b^{2}}{4b})^{2}=5+b^{2} (*) \end{matrix}\right.$
Giải (*) suy ra nghiệm (a,b)=(3;2)
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(9;4)

Cho $\Delta ABC (a,b,c)$
CMR: $a^{2}b(a-b)+ b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a) \geq 0$

Giải các phương trình sau:
$1) \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{2x-3}= \sqrt[3]{12(x-1)}$

$2) \sqrt[3]{x}+1= 2(2x-1)^{3}$

$3) \sqrt[3]{7x+1}- \sqrt[3]{x^{2}-x-8} - \sqrt[3]{x^{2}-8x+1}=2$


Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} y^{3} = x^{3}(9-x^{3})\\ x^{2}y +y^{2} = 6x \end{matrix}\right.$

giải hệ

2>$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=2\\\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=4 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=2\\\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=4 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}\geq \sqrt{x-y}\\ (\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y})^{2}=4\\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=4 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 0\\ x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}=2\\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=4 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 0\\ x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}=2\\ x +\sqrt{x^{2}+y^{2}}=6 (1) \end{matrix}\right.$
ta có (1) $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 6\\ (\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2} = (6-x)^{2} \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 6\\ y^{2} = 36-12x \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 6\\ x=\frac{36-y^{2}}{12} \end{matrix}\right.$
Thay $x=\frac{36-y^{2}}{12}$ vào $x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}=2,$
Giải được nghiệm duy nhất $(x;y) = (\frac{5}{2} ; \sqrt{6})$

a) cho x,y thoả mãn x^2+y^2=1. tìm max và min của x^6+y^6 x^{6} + y^{6}

a) $x^{2} +y^{2} \geq 2xy \Leftrightarrow xy\leq \frac{1}{2}$
$x^{2}+y^{2}=1 \Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{3}=1\Leftrightarrow x^{6}+y^{6}+3x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) =1 \Leftrightarrow x^{6}+y^{6}= 1-3x^{2}y^{2} \geq \frac{1}{4}$
Vậy GTNN của $A$ là :$min_{A} = \frac{1}{4}$ khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Cho x,y,z thay đổi thuộc $\begin{bmatrix} 0;1 \end{bmatrix}$ thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$
Tìm GTNN của: $cos(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Tìm GTLN của:
M= $\frac{1}{2x-\sqrt{x}+3}$
N= $\sqrt{2-2x-x^{2}}$
Tìm GINN của:
A= $2x-\sqrt{x}$
B= $1+\sqrt{2-x}$

GTLN: $max_{N} = \sqrt{3}\Leftrightarrow x=-1$
GTNN:$min_{A} = \frac{-1}{8}\Leftrightarrow x=\frac{1}{16}$
$min_{B} =1\Leftrightarrow x=2$

Bài 1 cho biểu thức P=$\frac{\sqrt{a}-1}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{a}-2}{x\sqrt{x}+1}+\frac{x}{\sqrt{2x^{2}-x^{3}}+x}$
a) rút gọn P
b) Tìm tất cả các số thực x để P nhận giá trị nguyên.

$a$ là tham số à bạn?

Câu hệ dễ nhất:
Bài 3:
$\left\{\begin{matrix} xy-x+y=7 & \\x^{2}+y^{2}+2x-2y =11 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy-(x-y)=7& \\(x-y)^{2}+2xy+2(x-y) =11 & \end{matrix}\right.$
Đặt $x-y=a$ $xy=b$
Lúc đó, ta có: $\left\{\begin{matrix} b-a=7 & \\ a^{2}+2b+2a=11 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=a+7 & \\ a^{2}+2(a+7)+2a=11 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=a+7 & \\ a^{2}+4a+3=0 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1 & \\ b=6 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} a=-3 & \\ b=4 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=-1 & \\xy=6 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=-3 & \\xy=4 & \end{matrix}\right.$
Giải bình thường: $(x,y)=(2;3);(-3;-2);(-4;-1);(1;4)$

Chữ số thứ $2012$ sau dấu phẩy mà bạn. Đâu phải chữ số tận cùng

Bài 3: a)$\frac{3}{7} = 0,(428571)$
Chu kì tuần hoàn có 6 chữ số
$2012\equiv 2 (mod 6)$
$\Rightarrow$ Chữ số thứ 2012 sau dấu phẩy là 2

b) $\frac{453}{17} = 0,(6470588235294117)$
Chu kì tuần hoàn có 16 chữ số.
$2012\equiv 12 (mod 16)$
$\Rightarrow$ Chữ số thứ 2012 sau dấu phẩy là 9

Thời gian làm bài:90 phút

Câu 1: (3đ)
Cho pt:$(m-1)x^{2} - 2x +1 =0$ (1)
a) Giải pt (1) khi m=-2
b) Tìm m đề pt (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $3x_{1} + x_{2} =0$
Câu 2: (2đ)
a) Rút gọn biểu thức : A= $\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2} +\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2} +\frac{2+5\sqrt{a}}{4-a}$ với a$\geq$0 và a$\neq 4$

b) giải hệ pt $\left\{\begin{matrix} xy+x+y=3\\ \frac{1}{x^{2}+2x} +\frac{1}{y^{2}+2y} =\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$

Câu 3: (1đ) Cho Parabol (P) : y=$x^{2}$ và đường thẳng (d):y=$(m+2)x -m +6$. Tìm các giá trị của m để (P) và(d) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 4.
Câu 4: (3 điểm): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=CB. OD cắt AC tại M. Từ A, kẻ AH vuông góc với OD ( H thuộc OD). AH cắt DB tại N và cắt nửa đường tròn (O;R) tại E. K là giao điểm của EC và OD.
a) Chứng minh: MCNH là tứ giác nội tiếp và OD song song với EB
b) Chứng minh: Tam giác EHK vuông cân và MN song song với AB
c) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác MCNH theo R.
Câu 5 (1đ) Cho hàm số $f(x)=ax^{2}+bx+c$ thỏa mãn $| f(-1)|\leq 1 ; | f(0)|\leq 1; | f(1)|\leq 1$
Chứng minh rằng $| f(x)|\leq \frac{5}{4}$ với mọi x thỏa mãn $|x|\leq 1$

Bài 2.1:
a) $\Delta =4m^{2}+4 > 0 \Rightarrow$ pt luôn có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow$ $\left ( P \right )$ luôn cắt $\left ( d \right )$ tại 2 điểm phân biệt A,B với mọi m.
b) Pt hoành độ giao điểm của $\left ( P \right )$ và $\left ( d \right )$ là: $x^{2} - 4mx-4=0$
Theo Viét: $\left\{\begin{matrix} x_{A}+x_{B}=4m\\ x_{A}.x_{B}=-4 \end{matrix}\right.$
độ dài AB=$\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}} = \sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+ \left ( \frac{x_{A}^{2}}{4}-\frac{x_{B}^{2}}{4} \right )}$
$=\sqrt{\left ( x_{A}+x_{B} \right )^{2}-4x_{A}.x_{B}+\frac{\left [ (x_{A}+x_{B})^{2} -2x_{A}.x_{B}\right ]^{2}-4x_{A}^{2}.x_{B}^{2}}{16}}$
=$\sqrt{16m^{2}+16+\frac{\left ( 16m^{2}+8 \right )^2-4.16}{16}}$
=$4(m^2+1)$
$\Rightarrow \frac{AB}{2}=2(m^2+1)$
I là trung điểm của AB $\Rightarrow x_{I}= \frac{x_{A}+x_{B}}{2} = \frac{4m}{2}=2m$
$\Rightarrow y_{I}=m.2m+1=2m^2+1$
$\Rightarrow \frac{AB}{2}-y_{I}=2(m^2+1)-(2m^2+1)=1$
Vậy hiệu số giữa nửa độ dài AB và tung độ điểm I không phụ thuộc vào m.