Oral1020

Chứng minh rằng $2^p$ với $p >3$ thì $2^p$ chia 3 dư 2

Cách khác nhá bạn:
$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \ge a(b+c+d+e)$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae\ge0$
$\Leftrightarrow 4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae\ge0$
$\Leftrightarrow (a^2-4ab+4b^2)+(a^2-4ac+4c^2).....\ge0$
$\Leftrightarrow (a-2b)^2+(a-2c)^2...\ge0$

Trong cấp THCS,đặc biệt là lớp 8.Những bạn học sinh khá giỏi chắc ai củng biết về hai bài này:
1)Phân tích đa thức thành nhân tử $(x-y)^3+(z-x)^3+(y-z)^3$
2)Cho $a+b+c=0$.Chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3=3abc$
Hai bài toán trên dễ dàng chứng minh nhưng đặc biệt là bài 1.Hầu như trong sách nâng cao thì đề biến nó về một lập phương rồi bớt cái gì đó.Cách làm đó đã tạo cho học sinh một cách rất khó chịu.Nhưng dễ thấy rằng $x-y+z-x+y-z=0$Vậy sao chúng ta không đặt $x-y=a$ $z-x=b$ $y-z=c$Vậy thì dể dàng chứng ta có $a^3+b^3+c^3=3abc$ Thế vào là xong.Không mất công như cách phân tích cũ.

a) Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp ($\widehat{A}+\widehat{BDC}=180$)=>
$\widehat{BAD}=\widehat{BCD}= 60^{\circ}\\ \widehat{DAC}=\widehat{DBC}=60^{\circ} =>\widehat{BAD}=\widehat{DAC}=> Q.E.D$
B, áP định lý Ptô-lê-mê cho tứ giác ABDC nội tiếp :
$AD.BC= AB.CD+AC.BD<=> AD.BC= BC(AB+AC)<=> AD=AB+AC => Q.E.D$

Lớp 7 bạn ơi

1)Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=120^{0}$dựng tam giác đều BCD.Chứng minh:
a)AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$
b)$AD=AB+AC$

1)Tìm GTNN của $A=x^2+26y^2-10xy+14x-76y+59$
2)Tìm x để $P=\dfrac{4x^4+16x^3+56x^2+80x+356}{x^2+2x+5}$ đạt GTNN
3)Tìm GTNN của các biểu thức sau:
$A=x^2+2y^2+2xy-2y$
$B=4x^2+5y^2-4xy-16y+22$
$C=x^2+5y^2+5z^2-4xy-4yz-4z+12$
$D=5x^2+9y^2-12xy+24x-48y+82$
4)Cho $xy+yz+xz=1$.Tìm GTNN $M=x^4+y^4+z^4$

1)Tính các cạnh của tam giác có ba đường cao bằng 12cm,15cm,20cm
2)Cho điểm O thuộc miền trong tam giác ABC.Các tia OA,BO,CO cắt các cạnh tam giác ABC theo thứ tự ở A',B',C',Chứng minh $\dfrac{OA'}{AA'}+\dfrac{OB'}{BB'}+\dfrac{OC'}{CC'}$

Chứng minh các bất đẳng thức sau đây
a) $\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a$ với mọi $a>b>0$
b)$4a(a+b)(a+1)(a+b+1)+b^2 \geqslant 0$
c)$\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<1$

Cho tam giác $ABC$ gọi $h_a ; h_b ; h_c$ lần lượt là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A,B,C và $(\dfrac{h_a}{h_b})^{2}+(\dfrac{h_a}{h_c})^{2}=1$.Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác vuông.
Cho điểm O thuộc miền trong tam giac ABC.Các tia AO,BO,CO cắt các cạnh tam giác ABC theo thứ tự $A',B',C'$.Chứng minh rằng:
a)$\dfrac{OA'}{AA'}+\dfrac{OB'}{BB'}+\dfrac{OC'}{CC'}=1$
b)$\dfrac{OA}{AA'}+\dfrac{OB}{BB'}+\dfrac{OC}{CC'}=2$

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c,d$ thì ta có:
$a^2+b^4+c^8 \geqslant ab^2+b^2c^4+c^4a$
$a+b^2+c^4+d^8 \geqslant \sqrt{a}(b+c^2+d^4+1)$
Tìm các số nguyên thỏa mãn :$a^2+b^2+c^2 \leqslant ab+3b+2c-4$
Cho các số thực dương $a.b.c$ thỏa mãn $abc=ab+bc+ca$,thì:
$frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3b+b+2c} \leqslant \frac{3}{16}$
Cho các số $a,b,c \geq 1$.Chứng minh rằng :$\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{a}-1} \geqslant12$
Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$.Chứng minh rằng:
$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy} \geqslant 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

Giải phương trình(Kiểu phương trình đẳng cấp )
$5(\dfrac{x-2}{x+1})^2-44(\dfrac{x+2}{x-1})^2+12\dfrac{x^2-4}{x^2-1}=0$

Cho hình bình hành $ABCD$,trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $E$,trên ta đối của tia $DA$ lấy điểm $K$.Đường thẳng $ED$ cắt $BK$ tại $O$.Chứng minh rằng diện tích tứ giác $ABOD$ và $CEOK$ bằng nhau.

1) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên các cạnh $AB$, $AC$, $BC$ dựng các hình vuông $ABED$, $ACPQ$, $BCMN$. Đường cao $AH$ thuộc cạnh huyền của tam giác vuông $ABC$ cắt $MN$ tại $F$.
a) Chứng minh rằng: Diện tích của $BHFN$ bằng diện tích của $ABED$ từ đó suy ra $AB^2=BC.BH$.
b) Chứng minh rằng: Diện tích của $HCMF$ bằng diện tích $ACPQ$ từ đó suy ra $AC^2=BC.HC$.
2) Cho hình thang $ABCD$, $BC//AD$. Các đường chéo cắt nhau tại $O$. Chứng minh rằng: Diện tích của $OAB$ bằng diện tích $OCD$ từ đó suy ra $OA.OB=OC.OD$.
3)Chứng minh rằng 3 đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành 6 phần bằng nhau