Nguyen Duc Thuan

Đã lâu MSS không có bài viết nào mới, và năm học 2015 đã sắp hết 1 kì. Vậy cho e hỏi BTC bao giờ tổng kết này và tổ chức cuộc thi mới vậy ạ?

Cho a,b,c dương TM a+b+c=6abc.CMR:$\frac{bc}{a^3(c+2b)}+\frac{ac}{b^3(a+2c)}+\frac{ab}{c^3(b+2a)}\geq 2$

Từ GT ta có: $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6$

Đặt $\sum \frac{1}{a}=\sum x\Rightarrow xy+yz+zx=6$

Áp dụng  BĐT Cauchy-Schawrz ta có:

$P=\sum \frac{x^3}{y+2z}=\sum \frac{x^4}{xy+2zx}\geq \frac{(x^2+y^2+x^2)^2}{3(xy+yz+zx)}\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{3}\geq 2$

(do $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx=6$)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/2

 

Câu 5 .

Giải phương trình:$x^3+6x^2+5x-3-(2x+5)\sqrt{2x+3}=0$

 

Mình làm còn câu 5.Câu 5 lại còn 1,5 điểm trượt là cái chắc câu 1,2,3 cơ bản nên mình không đánh lên

Mình thử trình bày nhé:

ĐKXD: $x\geq -\frac{3}{2}$

Biến đổi tương đương (khéo léo một chút), ta có pt:

$(x+1)^3+3(x+1)^2+2(x+1)=(2x+3)\sqrt{2x+3}+3(2x+3)+2\sqrt{2x+3}$

Đặt $x+1=a;\sqrt{2x+3}=b$   (  $a\geq \frac{-1}{2};b\geq 0$)

Ta được PT mới:

$a^3+3a^2+2a=b^3+3b^2+2b$

$\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+3a+3b+2)=0$

Xét $M=a^2+ab+b^2+3a+3b+2=\left ( a+\frac{b}{2} \right )^2+\frac{3b^2}{4}+\left ( 3a+\frac{3}{2} \right )+b+\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2}>0$

$\Rightarrow a=b\Leftrightarrow x+1=\sqrt{2x+3}$

$\Rightarrow x^2=2$

Chỉ chọn được 1 nghiệm là: $x=\sqrt{2}$

Bài 3:Tìm tất cả số nguyên dương $n$ thỏa mãn:1500<n<2000 sao cho chúng có đúng 16 ước số trong đó có ước là 19

Ta đặt $n=19k$

chặn như sau: $78<k<106$

Do n có 16 ước nên số ước số dương là 8

Mặt khác, khi dạng phân tích tiêu chuẩn của số $a=p_1^{d_1}p_2^{d_2}p_3^{d_3}...p_i^{d_i}$

thì số ước số dương của $a$ là $(d_1+1)(d_2+1)(d_3+1)...(d_i+1)$

suy ra số ước dương của $k$ là 4 (do $n$ có 8 ước dương và $n=19k$)

$\Rightarrow k=pq$ với $p,q$ nguyên tố => $(p;q)\in \left \{ (2;41),(2;43),(2;47),(3;29),(3;31),(5;17),(5;19),(7;13) \right \}$

Từ đó thay vào tính $n=19pq$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng $\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

Áp dụng C-S ta có:

$\sum \frac{b+c}{\sqrt{a}}=\geq 2\frac{(\sum \sqrt{a})^2}{\sum \sqrt{a}}=2\sum \sqrt{a}\geq \sum \sqrt{a}+3 $

Do $\sum \sqrt{a}\geq 3$

=> ĐPCM Dấu "=" khi $a=b=c=1$

 

Cho số nguyên dương r và một bảng hình chữ nhật chia thành 20x12 ô vuông. Ta chỉ được di chuyển từ một ô vuông đến ô vuông khác khi khoảng cách giữa hai tâm của hai ô đó bằng \sqrt{r}.

 

Xét bài toán tìm một dãy các nước đi để chuyển từ ô này sang ô khác mà 2 ô đó nằm ở 2 góc kề nhau của bảng, 2 góc đó nằm trên cùng 1 chiều dài hình chữ nhật. 

 

a) CMR bài toán không giải được nếu r chia hết cho 2 hoặc 3.

b)CMR bài toán giải được không khi r=73? Khi r=79?

MSS01 - Nguyễn Đức Thuận

 

 vmf.jpg   59.63K   0 Số lần tải

a) Ta tô màu các tâm ô vuông như hình vẽ. Không mất tính tổng quát, bài toán yêu cầu đi từ $A$ đến $T$.

Do $A$ và $T$ khác màu nên mỗi bước đi phải đi đến 1 ô màu khác.

Coi mỗi nước đi có dạng chữ $L$, khi đó gọi $a$ và $b$ là 2 cạnh chữ $L$

$\Rightarrow r=a^2+b^2$

+) Để đi tới một ô màu khác thì $a$ và $b$ phải khác tính chẵn lẻ.

Ví dụ: Đi từ $A$ tới $P$ thì $a=AQ=3$, $b=PQ=4$

$\Rightarrow r$ lẻ hay $r$ không chia hết cho 2 (đpcm)

Giả sử $r\vdots 3$ , do $a^2,b^2$ chia 3 dư 0 hoặc 1 mà $a^2+b^2=r \vdots 3$ nên $a, b$ đều chia hết cho 3

như vậy khoảng cách (tính theo chiều dài bảng) từ $A$ đến đích là số chia hết cho 3

ví dụ: Chữ $L$ có kích thước $3\times 6$ , ta đi từ $A$ tới $B$ rồi tới $C$ hoặc $D$ thì $AC=6$; $AD’=9$ đều chia hết cho 3

$\Rightarrow AT\vdots 3$ (vô lí vì $AT=19$)  suy ra $r$ không chia hết cho 3 (đpcm)

b) Bài toán giải được với $r$ là cạnh huyền của chữ $L$ có kích thước nguyên (tức là $r$ viết được dưới dạng tổng 2 bình phương) (Theo định lí Pythagore)

+) Xét $r=73=8^2+3^2$ => kích thước chữ $L$ là $3\times 8$ , bài toán có thể giải được.

+) Xét $r=79=a^2+b^2$ với $a$ chẵn, $b$ lẻ mà $a^2\vdots 4, b^2\equiv 1(mod4)\Rightarrow a^2+b^2\equiv 1(mod4))$

Mà 79 chia 4 dư 3 nên không tồn tại $a, b$ nguyên. Do đó bài toán không giải được.

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:

 

$\sum \sqrt{\frac{a^2+b+c}{a+b ^2+c^2}}\geq 1+\frac{2\sum a}{3}$

Cho $a,b,c\in \left [ 0;\sqrt{2} \right ]$ CMR:

 

$\sqrt{2}(a^2+b^2+c^2)\leq a^2b+b^2c+c^2a+2\sqrt{2}$

Cho a,b,c>0 và $a+b+c=2$ CMR:

$\prod (a+2)\geq 8\prod (2-a)$

MSS001 - Nguyễn Đức Thuận

 

Mở rộng 2: Giải phương trình với m, n, p, y là số cho trước, $y\in \mathbb{N}^*,p^2-4mn\geq 0$:

$n(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x^2)+(m+n)x+n-m=p\sqrt{x^y-1}$

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x^{y-1}+x^{y-2}+...+x+1}=b$    ( $a,b \ge 0$)

$\Rightarrow \sqrt{x^y-1}=ab$   và   $n(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x^2)+(m+n)x+n-m=ma^2+nb^2$

$\Rightarrow ma^2+nb^2=pab$

$\Leftrightarrow ma^2-pba+nb^2=0$

$\Delta _a=p^2b^2-4mnb^2$

$\Rightarrow a=\frac{pb\pm \sqrt{\Delta _a}}{2m}=\frac{b(p\pm \sqrt{p^2-4mn})}{2m}$

$\Rightarrow x-1=\frac{(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x+1)(p\pm \sqrt{p^2-4mn})^2}{4m^2}$

Đặt $\frac{(p\pm \sqrt{p^2-4mn})^2}{4m^2}=z>0$

$\Rightarrow x-1=z(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x+1)$

$\Leftrightarrow z(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x^2)+(z-1)x+z+1 =0$

 

Từ đây, ta thay các giá trị y, z cho trước và giải phương trình ẩn x theo cách thích hợp.

Bài toán MSS trận 7 là trường hợp p=7, y=3, n=2, m=3.

MSS001 - Nguyễn Đức Thuận

 

Mở rộng 1: Giải phương trình với m, n, p, y là số cho trước, $p^2-4mn \ge 0$:

$nx^2+(m+ny)x+ny^2-my=p\sqrt{x^3-y^3}$

ĐKXĐ: $x\geq y$

Đặt $\sqrt{x-y}=a;\sqrt{x^2+xy+y^2}=b$    ( $a,b \ge 0$)

$\Rightarrow \sqrt{x^3-y^3}=ab$   và   $nx^2+(m+ny)x+ny^2-my=ma^2+nb^2$

$\Rightarrow ma^2+nb^2=pab$

$\Leftrightarrow ma^2-pba+nb^2=0$

$\Delta _a=p^2b^2-4mnb^2$

$\Rightarrow a=\frac{pb\pm \sqrt{\Delta _a}}{2m}=\frac{b(p\pm \sqrt{p^2-4mn})}{2m}$

$\Rightarrow x-y=\frac{(x^2+xy+y^2)(p\pm \sqrt{p^2-4mn})^2}{4m^2}$

Đặt $\frac{(p\pm \sqrt{p^2-4mn})^2}{4m^2}=z>0$

$\Rightarrow x-y=z(x^2+xy+y^2)\Leftrightarrow zx^2+(zy-1)x+y^2z+y=0$

 

Từ đây, ta thay các giá trị y, z cho trước và giải phương trình bậc 2 ẩn x.

Bài toán MSS trận 7 là trường hợp p=7, y=1, n=2, m=3.

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$ (*)

Đề thi của l4lzTeoz

MSS001 - Nguyễn Đức Thuận

 

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Đặt: $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x^2+x+1}=b$ $(a,b\geq 0)$

Suy ra: $\sqrt{x^3-1}=ab$   và   $2x^2+5x-1=3a^2+2b^2$

$\Rightarrow 3a^2+2b^2=7ab$

$\Leftrightarrow 3a^2-6ab-ab+2b^2=0$

$\Leftrightarrow (a-2b)(3a-b)=0$

$\Leftrightarrow a=2b$ hoặc $3a=b$

*) Nếu $a=2b$ $\Rightarrow \sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

$\Rightarrow x-1=4(x^2+x+1)$

$\Leftrightarrow 4x^3+3x+5=0$ vô nghiệm vì $\Delta =-71<0$

*) Nếu $3a=b$ $\Rightarrow 3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$

$\Rightarrow 9(x-1)=x^2+x+1$

$\Leftrightarrow x^2-8x+10=0$

$\Leftrightarrow x=4\pm \sqrt{6}$ (thỏa mãn (*))

 

Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm là $x\in \left \{ 4-\sqrt{6};4+\sqrt{6} \right \}$

 

 

   d =10

  S =17+10.3=47

Thời gian đi là 15 phút

Quãng đường là 5km

Vậy vận tốc phải là $\frac{1}{3}$ km/phút

Mỗi phút phải đi thêm $\frac{1}{3}$ km.

Mình thấy chưa ổn. Lập luận như vậy thì cho $v=10km/h$ làm gì chứ?

Nhà cách trường 5km. Một bạn đi xe đạp từ nhà lúc 6h45 sáng, $v=10km/h$. Biết rằng vào lớp lúc 7h, hỏi trung bình mỗi phút bạn này phải đi nhanh lên bao nhiêu để kịp giờ học?