anhtukhon1

Chứng minh số A = $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ là hợp số

$5^{25}=a\Rightarrow a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1=(a^{2}+3a+1)^{2}-5a(a+1)^{2}=(a^{2}+3a+1)^{2}-5^{26}.(a+1)^{2}=(a^{2}+3a+1-5^{13}(a+1))(a^{2}+3a+1+5^{13}(a+1))$

BÀI TOÁN Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=1$. Tìm Min $P=\frac{y^{2}z^{2}}{x(y^{2}+z^{2})}+\frac{z^{2}x^{2}}{y(x^{2}+z^{2})}+\frac{x^{2}y^{2}}{z(x^{2}+y^{2})}$

BÀI TOÁN 1 Tìm tất cả số tự nhiên $(x,y)$ sao cho $5^{x}+12^{x}=y^{2}$

BÀI TOÁN 2 Chứng minh số $(2+\sqrt{3})^{2016}+(2-\sqrt{3})^{2016}$ là số chẵn

BÀI TOÁN 3 Tìm tất cả các số tự nhiên $a,b,c$ phân biệt sao cho $P=\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}\in Z$

$a+b+c-3abc=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=-3abc=0\Rightarrow \begin{bmatrix} a=0 & & \\b=0 & & \\ c=0 & & \end{bmatrix}$

$\sum a-\frac{a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}=9-\sum \frac{ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 9-\sum\frac{ ab(a+b)}{3ab}=9-\sum \frac{a+b}{3}=9-6=3$

Cho $x,y,z >0$ thỏa mãn :$x+y+z=9$

 

Tìm MIN của  $A=\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}$

 

P/S: làm bằng nhiều cách khác nhau để mình và mọi người có thể tham khảo

http://diendantoanho...?tab=reputation

Đây ạ năm đó anh ý đăng kí MSS full điểm 10 hay sao ý chỉ tiếc bây giờ đã off

$5(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+4)\geq (a+b+c+d+2)^{2}(bunhyacopxki)."="\Leftrightarrow a=b=c=d=.... \begin{Bmatrix} xy+x+y=71 & \\xy(x+y)=880 & \end{Bmatrix};xy=a;x+y=b\Rightarrow \begin{Bmatrix} a+b=71 & \\ab=880 & \end{Bmatrix}\Rightarrow ...$

$x=2k+1\Rightarrow y^{2}\equiv 2(mod 3)\Rightarrow VL;*x=2k\Rightarrow 2^{2k}-y^{2}=-1\Rightarrow (2^{k}+y)(2^{k}-y)=-1\Rightarrow ...$

$237^{42}=237^{6.7}=(237^{6})^{7}\equiv (037^{6})^{7}(mod 100)\equiv (009)^{7}\equiv 69(mod 100)\Rightarrow \bigstar $

p/s : Em không chắc

Tìm số dư trong phép chia $237^{42}$ cho 100.

giải hệ: 

$\begin{Bmatrix} (x-2015)(2015+2016\sqrt[3]{y-2017})=1 & \\\sqrt[3]{x-2014}(y-4032)=2016 & \end{Bmatrix}$

Cho $x,y\in \mathbb{Z}$ và $3x+5y=11$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=10|x|-7|y|.$

$3x+5y=11\Rightarrow 3x-6=5-5y\Rightarrow 3(x-2)=5(1-y)\Rightarrow x-2\vdots 5\Rightarrow x=5k+2\Rightarrow 3(5k+2)+5y=11\Rightarrow 15k+6+5y=11\Rightarrow 15k+5y=5\Rightarrow 3k+y=1\Rightarrow y=1-3k\Rightarrow x=5k+2;y=1-3k(k)\in Z.*k> 0\Rightarrow x> 0;y< 0\Rightarrow A=10x+7y=50k+20+7-21k=29k+27\geq 29.1+27=56 *k=0\Rightarrow x=2;y=1\Rightarrow A=13. *k< 0\Rightarrow x< 0;y> 0\Rightarrow A=-10x-7y=-10.(5k+2)-7(1-3k)=-50k-20-7+21k=-27-29k\geq -27-39.(-1)=2\Rightarrow A min =12\Leftrightarrow k=-1\Rightarrow x=-3;y=4$

a,b,c>0; a+b+c$\leq 3$

Chứng minh :

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2009}{ab+bc+ac}\geq 670$

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2}{ab+bc+ca}+\frac{2007}{ab+bc+ca}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}+\frac{2007}{ab+bc+ca}\geq \frac{9}{9}+\frac{2007}{3}=670$

Ta có $tan \widehat{BCE}=tan \widehat{BAE};tan \widehat{DCE}=\frac{OI}{OC}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{OCI}=...\Rightarrow \widehat{ICB}=...\Rightarrow tan\widehat{BAE}$(hình như là 1/3)

 

a) Tính tan BAE

b) Chứng minh rằng : OK vuông góc với BD

b) Tam giác OBD có K,H,A thẳng hàng theo menelaous $\frac{BK}{KD}.\frac{DH}{OH}.\frac{AO}{AB}=1;tan \widehat{BAE}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{DH}{OH}=2;\frac{AO}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow BK=KD$ mà tam giác OBD cân nên có đpcm

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI BẮC GIANG 2015-2016

Câu 1: (6 điểm)

1) Cho biểu thức $A=\frac{\frac{1}{\sqrt{a+2}-\sqrt{a-2}}}{\frac{1}{\sqrt{a-2}-\frac{1}{\sqrt{a+2}}}}:\frac{\sqrt{a-2}.\sqrt{a^{2}-4}}{(a+2)\sqrt{a-2}-(a-2)\sqrt{a+2}}+a^{2}-1,(a> 2)$

a) Rút gọn A

b) Tìm Min A

2) Gọi $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của hai phương trình $x^{2}-2x-5$. Không giải phương trình hãy tính $B=x_{1}^{3}-2x_{2}^{2}-5x_{1}+8x_{2}+2008$

Câu 2:(4 điểm)

1) Giải phương trình $6x^{2}+10x-92+\sqrt{(x+70)(2x^{2}+4x+16)}=0$

2) Giải hệ phương trình $\begin{Bmatrix} y^{2}+x(x+1)(x+2)(x+3)=121 & \\ y^{2}+1=x & \end{Bmatrix}$

Câu 3:( 3 điểm)

1) Tìm tất cả x,y nguyên thỏa mãn $5^{x}+12^{x}=y^{2}$

2) CM số $(2+\sqrt{3})^{2016}+(2-\sqrt{3})^{2016}$ là số chẵn

Câu 4: (6 điểm)

1) Cho hình vuông ABCD, M và N là 2 điểm nằm trên AC sao cho $AC=3AN=4AM$.  Hai đường thằng DM và DN cắt AB tại P và Q. CM: 

a) Tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQN, từ đó chỉ ra tứ giác MNQP nội tiếp

b) Đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN và DC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN

2) Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoại tại P, (R>r). Hai tiếp tuyến chung ngoài AE và BD của hai đường tròn cắt nhau tại C( AE,BD không đi qua P; A,B thuộc (O) và D,E thuộc (I). Tính góc ACB biết DE=2cm, AB=6cm

3) Trong hình chữ nhật có chiều dài và rộng lần lượt bằng 4 và 3 cho 49 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có các đỉnh thuộc 49 điểm trên mà diện tích nhỏ hơn $\frac{1}{2}$

Câu 5: (5 điểm) Cho số thực x thỏa mãn $1\leq x\leq 2$. Tìm Max , MIn của $T=\frac{3+x}{x}+\frac{6-x}{3-x}$

------------------------------------------Hết-------------------------------------

p/s: Mỏi tay quá :V

 

  2. Trên bảng ghi 2008 dấu cộng và 2009 dấu trừ. Mỗi lần thực hiện ta xóa đi 2 dấu và thay bởi dấu cộng nếu 2 dấu bị xóa cùng loại và thay bởi dấu trừ nếu 2 dấu bị xóa khác loại. Hỏi sau 4016 lần thực hiện như vậy trên bảng còn dấu gì ?

 

Thay dấu - là -1 và dấu + là 1, ta có tích của tất cả các số trên bảng lúc đầu là $=-1$. Khi xóa hai số cùng dấu thì tích vẫn sẽ là $-1$ và viết thêm số $1$ tích vẫn như vậy. Khi xóa hai số khác dấu thì tích là $1$ và viết thêm số $-1$ có nghĩa là tích vẫn là $-1$. Vậy tích đó là bất biến. Nên sau 4016 lần thức hiện như vậy thì trên bảng còn số $-1$ nghĩa là -