bangbang1412

Đặt $x^{2}+3=a$ ; đặt $f(a)=a+\frac{1}{a}$ với $a\geq 3$ 

Ta có $a+\frac{1}{a}=\frac{a}{9}+\frac{1}{a}+\frac{8a}{9}$

Sử dụng AM - GM cho 2 số hạng đầu ta được $f(a)\geq \frac{2}{3}+\frac{24}{9}=\frac{10}{3}$ do a >= 3

Đẳng thức xảy ra khi a = 3 hay x = 0 

Cho a ; b ; c là các số thực dương thỏa mãn : $\sum a=\sum \frac{1}{a}$

Chứng minh rằng : $\sum \frac{1}{(2a+b+c)^{2}}\leq \frac{3}{16}$

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng với n = 2 theo bất đẳng thức cauchy - schwars ; mọi n > 2 thì bất đẳng thức được suy ra trực tiếp theo cách áp dụng bất đẳng thức 2 số .

đây là kỹ thuật chọn điểm rơi ; bạn dự đoán dấu bằng rồi dùng AM - GM hợp lý để khử mẫu 

$y=sin^{2}x.e^{x}$ 

 $y'=(sin^{2}x)'.e^{x}+(e^{x})'.sin^{2}x$ =>$ y'= sin2x.e^{x}+e^{x}.sin^{2}x $

$y'' = (y')'=cos2x.e^{x}+e^{x}.sin2x$

Theo bất đẳng thức AM - GM thì : $a+b\geq 2(ab)^{\frac{1}{2}}$

Chứng minh tương tự và nhân 3 vế với sau ta suy ra VT $\geq$ 1

Mặt khác theo đánh giá cơ bản : $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqxy+yz+xz$

Áp dụng với : $x=a^{\frac{1}{2}},y=b^{\frac{1}{2}},z=c^{\frac{1}{2}}$

Ta có VP$\leq$1 nên suy ra điều phải chứng minh ; đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

Trước hết ta nhân cả 2 vế của bất đẳng thức đã cho với ab + bc + ac thu được bất đẳng thức tương đương là :

                                                  $\sum ab\sum \frac{a}{b(b+c)^{2}}\geq \frac{9}{4}$

Theo bất đẳng thức cauchy - schwarz thì :

                                                  VT $\geq (\sum \frac{a}{b+c})^{2}$

Mặt khác theo bất đẳng thức neisbit 3 biến thì : 

                                                  $\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

Từ đó suy ra dpcm ; có đẳng thức <=> a = b = c 

Giải phương trình nghiệm nguyên dương : $x^{y}=y^{x}$

Cho tam giác ABC là tam giác đều . Gọi M ; N ; P là 3 điểm thuộc lần lượt các cạnh AB ; AC ; BC sao cho tam giác MNP cùng trọng tâm với tam giác ABC . Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều .

Tính diện tích paraboloit $x=1-y^{2}-z^{2}$ và bị cắt bởi hình trụ $y^{2}+z^{2}=1$. 

Chứng minh rằng tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :

$\left\{\begin{matrix} ax+by+cz=0\\ dx+ey+fz=0 \end{matrix}\right.$

lập thành không gian tuyến tính .

Bài 1 : Nhân cả 2 vế với a + b + c ta có bất đẳng thức tương đương .

                                      $(a+b+c)(\frac{a^{2}}{b^{3}}+\frac{b^{2}}{c^{3}}+\frac{c^{2}}{a^{3}})\geq 9$

Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwars cho vế trái ta được

                                    căn   VT $\geq$ $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}$

Áp dụng AM - GM cho biểu thức trong ngoặc ta có dpcm

Ta áp dụng bổ đề : '' $x^{2}+y^{2}=3k$ thì x và y đều là bội số của 3 ; dễ chứng minh bằng cách xét từng trường hợp 

Khi đó đặt x=3a ; y=3b với a ; b nguyên dương .

Giả sử ( x ; y ;z ;t) là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình .

Ta chia 2 vế phương trình cho 3 có $3(a^{2}+b^{2})=z^{2}+t^{2}$ là nghiệm nhỏ hơn nghiệm ban đầu nên vô lý ; vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương .

Câu 4 có cách nào khác không nhỉ

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn [ 0 ; 1 ]

Chứng minh rằng :

                                       $\int_{0}^{\pi }xf(sinx)dx=\pi \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(sinx)dx$