tranphuonganh97

từ phương trình cạnh AB và BC dễ tính được tọa độ B do tọa độ B là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+3y+1=0\\x-y+5=0 \end{matrix}\right.$

Giải hệ ta có $B(-4;1)$

Từ phương trình cạnh BC dễ thấy vecto n₁(1;3) là vecto pháp tuyến 

Từ phương trình cạnh AB dễ thấy vecto n₂ (1;-1) là vecto pháp tuyến

Do đó tính được $cos\widehat{ABC}= \frac{\left |1.1+3.(-1) \right |}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}.\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

Gọi n₃ (a;b) là vecto pháp tuyến của đường AC (điều kiện:$a^{2}+b^{2}>0$)

Do đó: $cos\widehat{ACB}= \frac{\left |a.1+3.b\right |}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}.\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\left |a+3b\right |}{\sqrt{10}.\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Mà tam giác ABC cân tại A nên $cos\widehat{ABC}=cos\widehat{ACB}$

Do đó: $$\frac{\left |a+3b\right |}{\sqrt{10}.\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{5}} <=> \frac{(a+3b)^{2}}{10(a^{2}+b^{2})}=\frac{1}{5}<=> a^{2}-6ab-7b^{2}=0 <=>$$

<=> a=7b hoặc a=-b

* TH1: a=7b thì (AC): a(x+4)+b(y-1)=0 (do M(-4;1) thuộc AC) <=> (AC): x+7y-3=0

Do đó tọa độ C là nghiệm hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x+7y-3=0\\ x+3y+1=0 \end{matrix}\right.$

Giải hệ được $C(\frac{1}{2};\frac{-1}{2})$

* TH2: a=-b thì (AC): x-y+5=0 (loại vì giống pt đường AB)

Vậy: $C(\frac{1}{2};\frac{-1}{2})$

Câu 2.

Từ đề cho dễ tính $A(10;0); B(0;20)$. 

* TH1: (d) cắt trục Ox tại điểm E có hoành độ dương

Giả sử (d) cắt AB tại H và cắt Ox tại E. 

Do S_ABC=2.S_EHA nên theo công thức: $S=\frac{1}{2}.a.b.sin\alpha$ thì được $OA.AB=EA.AH$

Mà tam giác EAH và BAO đồng dạng (g.g) nên $\frac{EH}{BO}=\frac{HA}{OA}$ => $(\frac{EH}{BO})^{2}=\frac{EH.HA}{BO.OA}=\frac{AO.AB}{BO.OA}=\frac{AB}{BO}$ => $EH^{2}=BO.AB=20.\sqrt{20^{2}+10^{2}}=30.\sqrt{5}$

Do E thuộc Ox nên gọi E(a;0) thì EH là khoảng cách từ E đến đường thẳng $\Delta$

Do đó: $\frac{(2a-20)^{2}}{5}=30\sqrt{5}$ => $\frac{(2a-20)^{2}}{5}=30\sqrt{5} => a=\frac{\sqrt{150\sqrt{5}}+20}{2}$

(d) vuông góc $\Delta$ và đi qua E(....) nên dễ dàng viết được phương trình. 

* TH2: (d) cắt Oy tại điểm có tung độ dương

Làm tương tự TH1 thì thấy BE=BA => vô lý . 

Vậy......

Câu 1: 

Gọi I là tâm (C)

Từ phương trình đường tròn ta có: $OI=R=\frac{5}{2}$ => $AC=2OI=5$=> $OA^{2}+OC^{2}=AC^{2}=25$ (1)

Mà diện tích hình chữ nhật là 12 nên: $OA.OC=12$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $OA^{2}=16 hoặc 9$ và $OC^{2}=9 hoặc 16$

- TH1:$OA^{2}=16$ và $OC^{2}=9$ (*)

Gọi A(x;y) thì C$C(5-x;-y)$ (do $I(\frac{5}{2};0)$ là trung điểm AC)

Từ (*) ta có hệ : $x^{2}+y^{2}=16$ và $(5-x)^{2}+y^{2}=9$

=> $16-x^{2}=9-(5-x)^{2}$

=> $x=\frac{16}{5}$ => $y=\frac{12}{5}$ => $A(\frac{16}{5};\frac{12}{5})$ => $C(\frac{9}{5};\frac{-12}{5})$

- TH2: tương tự

- I là trung điểm OB nên x_B=2x_I-x_O=5; y_B=2y_I-y_O=0 => $B(5;0)$

ĐKXĐ: $y\neq 0$

Trừ 2 phương trình cho nhau được: $2x^{2}-\frac{2}{y^{2}}=6 <=> 2x^{2}y^{2}-6y^{2}-2=0$

Từ phương trình (2) có: $2+xy=4y^{2}<=> 2=4y^{2}-xy$

nên:$2x^{2}y^{2}-6y^{2}-2=0<=>2x^{2}y^{2}-6y^{2}-4y^{2}+xy=0$<=> $2x^{2}y^{2}-10y^{2}+xy=0$

do đó $y=0$ hoặc $2x^{2}y+x-10y=0$ (*)

từ phương trình (1) có $y= \frac{2x^{2}+x}{10}$ nên thay vào (*) được phương trình:

$2x^{2}.\frac{2x^{2}+x}{10}+x-2x^{2}-x=0 <=> x^{2}.\frac{2x^{2}+x}{5} - 2x^{2}=0$

đến đây dễ giải phương trình ẩn x. 

 

1. $sin3x = sin2x - cos2x + 2cos^{2}(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})$

 

xét $2.cos^{2}(\frac{x}{2}-\frac{\Pi }{4})= 2.(cos\frac{x}{2}.cos\frac{\Pi }{4}+sin\frac{x}{2}.sin\frac{\Pi }{4})^{2}=(cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2})^{2}=1+sinx$

có $sin3x=-4sin^{3}x+3sinx$

thay vào pt ban đầu có: 

$-4sin^{3}x+3sinx= 2sinx.cosx-(1-2sin^{2}x))+ sinx + 1$

<=> $-4sin^{3}x+2sinx = 2sinx.cosx + 2sin^{2}x$

<=> sin x =0 hoặc $-4sin^{2}x+2=2cosx+2sinx$ (1)

(1) <=> $2sin^{2}x+sinx+cosx-1=0$

mà $2sin^{2}x-1=-cos2x$

nên:

$-cos2x+cosx+sinx=0$

Mà $-cos2x+cosx=-2.sin\frac{3x}{2}.sin\frac{-x}{2}=2.sin\frac{3x}{2}.sin\frac{x}{2}$

nên: $2.sin\frac{3x}{2}.sin\frac{x}{2}+sinx=0 $

<=> $2.sin\frac{3x}{2}.sin\frac{x}{2}+2.sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}=0$
<=> $sin\frac{x}{2}=0$

hoặc $cos\frac{x}{2}=sin\frac{-3x}{2} <=> $cos\frac{x}{2}=cos(90+\frac{3x}{2})$ <=> $\frac{x}{2}=90^{0}+\frac{3x}{2}+k.2.\Pi$ hoặc $\frac{x}{2}=-90^{0}-\frac{3x}{2}+k.2.\Pi$

Vậy.............

đơn giản thôi mà.
ta chứng minh công thức sau: cotA = (b²+c²-a²)/4S. 

Hiển nhiên có : cos A = (b²+c²-a²)/2bc (hệ quả định lý cosin) và sin A = 2S/bc (do có S = 1/2 . b.c.sin A). thay 2 cái này vào cot A = cos A/sin A thì được điều cần chứng mình. 

Tương tự với góc B và C

do đó 2cotA=cotB+cotC <=> (b²+c²-a²)/2S. = (a²+c²-b²)/4S + (b²+a²-c²)/4S. 

<=> b²+c²-a^{2 =} a²  

Luôn đúng theo giả thiết