leduylinh1998

Bài 4: Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=abc.$CMR:

$\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3} \geq 1$

$(\sum \frac{a}{b^3})(\sum \frac{1}{ab})\geq \left ( \sum \frac{1}{b^2} \right )^2\geq \left (\sum  \frac{1}{ab} \right )^2$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{b^3}\geq \sum \frac{1}{ab}=1$

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+ &2xy+ &2y^{2} +&3x (1) &=0 \\ y^2 + &xy +&3y +&1 &=0 (2) \end{matrix}\right.$

$(1)+2(2)$$\Leftrightarrow (x+2y)^{2}+3(x+2y)-2=0$

Đến đây chắc được rồi

Giải hpt: 

$\left\{\begin{matrix}
(x+\sqrt{x^{2}+1})(y-\sqrt{y^{2}-1})=1\\ (\sqrt{x^{2}+1}\sqrt{y^{2}-1})+8\sqrt{y-x+4}=17

\end{matrix}\right.$

Cho mình hỏi: pt 2 ở giữa 2 cái căn là dấu gì vậy

GHPT:

$\left\{\begin{matrix} &3x^{2}-8x+2\left(x-1 \right)\sqrt{x^{2}-2x+2}=2\left(y+2 \right)\sqrt{y^{2}+4y+5}(1)  & \\ &x^{2}+2y^{2}=4x-8y-6(2)  & \end{matrix}\right.$

$(1)-(2)\Leftrightarrow 2(x-1)^{2}+2(x-1) \sqrt{(x-1)^{2}+1}=2(y+2)^{2}+2(y+2)\sqrt{(y+2)^{2}+1}$

Đến đây chắc được rồi

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$

Tìm GTLN của P= $\frac{x^2 + xy}{5 - z^2} + \frac{y^2 + yz}{5 - x^2} + \frac{z^2 + zx}{5 - y^2}$

Ta có:

$\frac{x^{2}+xy}{5-z^{2}}=\frac{x^{2}+xy}{2+x^{2}+y^{2}}$

Ta chứng minh BĐT phụ sau:

$\frac{x^{2}+xy}{2+x^{2}+y^{2}}\leq \frac{1}{2}x$

Biến đổi tương đương ta được

$x\left [ (x-1)^{2}+(y-1)^{2} \right ]\geq 0$  (luôn đúng với x>0)

Làm tương tự, rồi cộng vế theo vế, ta được

$\sum \frac{x^{2}+xy}{2+x^{2}+y^{2}}\leq \frac{1}{2}(a+b+c)\leq\frac{1}{2}\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})} =\frac{3}{2}$

 4, $\left\{\begin{matrix} xy+x+1=7y(1) & \\ x^{2}y^{2}+xy+1=13y^{2} (2)& \end{matrix}\right.$

$PT(1)\Leftrightarrow x^{2}y^{2}+2xy+1=49y^{2}+x^{2}-14xy$

$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}+xy+1=49y^{2}+x^{2}-15xy$

Thay vào$(2)$, Ta được

$13y^{2}=49y^{2}+x^{2}-15xy$

Đến đây chắc được rồi

Giải hệ PT

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=xy\sqrt{2(x^{2}+y^{2})} & \\ 4\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=9(y-1)\sqrt{2x-3} & \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c>0$, thoả mãn:$a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$. Tìm Max

$A=\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}$

Giải phương trình: $2\sqrt{x^{2}-2x-1}+\sqrt[3]{x^{3}-14}=x-2$

(Bài này từ bài giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}+2y^{2}=x^{2}y+2xy\\ 2\sqrt{x^{2}-2y-1}+\sqrt[3]{y^{3}-14}=x-2 \end{matrix}\right.$)

$PT\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2}-2x-1}+\sqrt[3]{x^{3}-14}-(x-2)=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2}-2x-1}+\frac{6(x^{2}-2x-1)}{\sqrt[3]{(x^{3}-14)^{2}}+(x-2)\sqrt[3]{x^{3}-14}+(x-2)^{2}}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-2x-1}\left (2+\frac{6\sqrt{x^{2}-2x-1}}{\sqrt[3]{(x^{3}-14)^{2}}+(x-2)\sqrt[3]{x^{3}-14}+(x-2)^{2}} \right )=0$

Đến đây chắc được rồi

  Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ

3)$(x^2+2)^2+4(x+1)^3+\sqrt{x^2+2x+5}=(2x-1)^2+2$

$PT\Leftrightarrow x^{4}+4x^{3}+12x^{2}+16x+5+\sqrt{x^{2}+2x+5}=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}+2x+5)(x^{2}+2x+3)+\sqrt{x^{2}+2x+5}-10=0$

Đặt $a=\sqrt{x^{2}+2x+5}$

$PT\Leftrightarrow a^{2}(a^{2}-3)+a-10=0$

$\Leftrightarrow (a-2)(a^{3}+2a^{2}+2a+5)=0$

$sin^2 x + \sqrt{3} sin x + \sqrt{3} sin x cos x + cos x + \frac{1}{2} = 0$

Ta có:

$\sqrt{3} sin x + cos x = sin^2 x +\sqrt{3} sin x cos x + \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{3} sin x + 2cos x = 2sin^2 x +2\sqrt{3} sin x cos x + 1$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{3} sin x + 2cos x = 3sin^2 x +2\sqrt{3} sin x cos x + cox^{2}x$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{3} sin x + cos x) =(\sqrt{3} sin x + cos x)^{2}$

Đến đây bạn tự giải tiếp nhé

Giải hệ phương trình này giúp mình với, mình đang cần gấp:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2}+\sqrt{y-2}=4 (1)\\ \sqrt{x+7}+\sqrt{y+3}=6 (2) \end{matrix}\right.$

Cộng trừ hai vế (1) và (2), ta được

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}+\sqrt{y-2}+\sqrt{y+3}=10 & \\ \sqrt{x+2}-\sqrt{x+7}+\sqrt{y-2}-\sqrt{y+3}=-2 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}+\sqrt{y-2}+\sqrt{y+3}=10 & \\ \frac{-5}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}}+\frac{-5}{\sqrt{y-2}+\sqrt{y+3}}=-2 & \end{matrix}\right.$ 

Đến đây chắc là được rồi

Giải phương trình lượng giác sau:

$ \frac{(sinx+cosx)^{2}-2sin^{2}x}{1+cot^{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(sin(\frac{\pi }{4}-x)-sin(\frac{\pi }{4}-3x))$

ĐK:....

$PT\Leftrightarrow \frac{cos^{2}x-sin^{2}x+sin2x}{\frac{1}{sin^{2}x}}=\sqrt{2}cos\left ( \frac{\Pi }{4}-2x \right )sinx$

$\Leftrightarrow (cos2x+sin2x)sin^{2}x=(cos2x+sin2x)sinx$

đến đây chắc là được rồi.

 

Giải phương trình $(tanx+1)sin^2x+cos2x+2=3(sinx+cosx)sinx$

 

bạn chia cả hai vế Pt cho $\cos^{2}x$ ta được PT:

$\tan^{3}x-tan^{2}x-3tan+3=0$

Giải HPT:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+3y}+\sqrt{2x+7y}=10 & \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})\left ( \frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{3x+y}} \right )=2 & \end{matrix}\right.$