NVHT

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $I$ là trung điểm cạnh $BC$. Phân giác trong $AD$  ($D$ trên cạnh $BC$),hai điểm $P,Q$ trên cạnh $AD$ thoả mãn $\angle CBP=\angle ABQ$. $M$ là hình chiếu của $Q$ trên $BC$, $N$ đối xứng với $I$ qua $AD$. Chứng minh $MN \perp OP$

Bằng cách sử dụng pp tiếp tuyến ta có thể nhanh chóng dự đoán được:

+,$x-\sqrt{x-1}\leq \frac{3}{4}(x-5)+3$ vì nó $\Leftrightarrow (x-5)^{2}\geq 0$

+'$y-\sqrt{y-2}\leq \frac{3}{4}(y-6)+4$

+,$z-\sqrt{z-3}\leq \frac{3}{4}(z-7)+5$

Công tất cả lại thì có :$x+y+z\geq 18$

Đã xong min. h thì tìm max

AD Bunhia sẽ có :$x+y+z=1.\sqrt{x-1}+1.\sqrt{y-2}+1.\sqrt{z-3}+12$

$\leq \sqrt{(1^{2}+1^{2}+1^{2})(x+y+z-6)}+12$

Đặt $x+y+z=t$ Bien đổi ta sẽ có $t\leq \frac{27+\sqrt{105}}{2}$

ngay bdt dau da sai

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ với hai đường cao $BE,CF$.Tiếp tuyến tại $B,C$ của (O) cắt nhau tại $X$. $EF$ cắt $XB,XC$ tại $Y,Z$. Chứng minh $(XYZ)$ tiếp xúc với $(O)$.

Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E$ là giao điểm của $AC, BD$. Giả sử có điểm $P$ nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho $\angle PAB+\angle PCB=\angle PBC+\angle PDC= 90^0$. Chứng minh ba điểm $E,O,P$ thẳng hàng.

Bài này cũng có thể quy về lượng giác và dùng bất đẳng thức

$cosA+cosB+cosC \leq \frac{3}{2}$

Tìm các hàm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả:

$f(x+y)+f(x).f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y)$, với mọi $x, y$ nhận giá trị thực.

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $A'$ là điểm cố định trên đtròn không trùng các đỉnh tam giác, $P$ di động trên đường thẳng $BC$,$K$ thuộc đường thẳng $AC$ sao cho $PK$ luôn song song với một đường thẳng $d$ cố định ( $d$ cho trước không song song $BC$). ĐTròn $(APK)$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $A$. Đường thẳng $AE$ cắt đương thẳng $BC$ tại $M$. $A'P$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $N$. CMR: đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ thay đổi,