lehoangphuc1820

Ta có

 

$2M=\frac{2x}{2x+y}+\frac{2y}{2y+z}+\frac{2z}{2z+x}$

 

$=\sum (1-\frac{y}{2x+y})=3-(\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x})$ $(1)$

 

Áp dụng bdt Cauchy Shwarz

 

$\sum \frac{y}{2x+y}=\sum \frac{y^2}{2xy+y^2}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1 (2)$

 

$(1);(2)\Rightarrow 2M\leqslant 2\Rightarrow M\leqslant 1$

 

Vậy Max $M=1$

Dấu ''='' xảy ra khi nào? 

Mọi người làm giúp mình vài bài này nha. Cảm ơn mọi người!
Câu 8: tìm tất cả các số nguyên dương a Sao cho phương Trình : $2x^{2}-30x+a=0$ có 2 nghiệm là số nguyên tố.

Gọi $x_{1},x_{2}$ là 2 nghiệm của pt, giả sử $x_{1}>x_{2}$

Theo định lí viét ta có: 

$x_{1}+x_{2}=\frac{-(-30)}{2}=15$

Mà $x_{1},x_{2}$ là các số nguyên tố nên $x_{1}=13,x_{2}=2$;

Theo đ.lí Viét ta lại có:

$x_{1}.x_{2}=\frac{a}{2}$

$=> a=52$

XONG!

Cho a,b,c dương. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $(3a + b)(2c + a +b)$ $\leq (2a + b + c)^{2}$

$(3a + b)(2c + a +b)$ $\leq (2a + b + c)^{2}$

$\Leftrightarrow 6ac+3a^2+4ab+2bc+b^2\leq 4a^2+b^2+c^2+4ab+4ac+2bc$

$\Leftrightarrow 6ac+3a^2+\leq 4a^2+c^2+4ac$

$\Leftrightarrow 0\leq 4a^2+c^2+4ac-6ac-3a^2$

$\Leftrightarrow 0\leq (a-c)^2$ (hiển nhiên đúng)

Vậy...

Q7. Determine all positive integer $a$ such that the equation 

  $2x^2-210x+a=0$

has two prime roots, i.e both roots are prime numbers.

Q8. If $n$ and $n^3+2n^2+2n+4$ are both perfects squares, find $n$.

Q9. Let be given a triangle $ABC$ and points $D,M,N$ belong to $BC,AB,AC,$ respectively. Suppose that $MD$ is parallel to $AC$ and $ND$ is parallel to $AB$. If $S_{BMD}=9cm^2$,if $S_{DNC}=25cm^2$, compute $S_{AMN}$

Q10. fine the maximum value of 

$M=\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+z}+\frac{z}{2z+x}, x,y,z>0$

a) Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình

$x^2-2y^2=1$

Câu a ta cũng có thể làm thế này:

$x^2-2y^2=1\Leftrightarrow 2y^2=(x-1)(x+1)$

$\Rightarrow (x-1)(x+1)\vdots 2$

$\Rightarrow$ trong $(x-1),(x+1)$ có 1 số chẵn và một số lẻ hoặc cả hai số đều chẵn.

Ta lại có: $(x+1)+(x-1)=2x$ là 1 số chẵn nên $x+1$ và $x-1$ cùng tính chẵn lẻ.

$\Rightarrow$ $x+1$ và $x-1$ cùng là số chẵn.

$\Rightarrow$ $(x-1)(x+1)\vdots 4$

$\Rightarrow$ $2y^2\vdots 4$ $\Rightarrow y^2\vdots 2$

Mà $y$ là số nguyên tố nên $y=2$

Thay vào ta tìm ra $x=3$

Vậy $(x;y)=(3;2)$

CMR  $7^{2n+1}-48n-7$ chia hết 288 

Ta c/m bằng pp quy nạp:

Đặt $P(n)=7^{2n+1}-48n-7$

Với $n=0$ thì $P(n)=0\vdots 288$

Giả sử $P(n)$ đúng với $n$, ta sẽ c/m $P(n)$ đúng với $n+1$

Ta có : $P(n+1)-P(n)=7^{2(n+1)+1}-48(n+1)-7-7^{2n+1}+48n+7$

            $=7^{2n+3}-48n-48-7-7^{2n+1}+48n+7$

            $=7^{2n+1}.49-7^{2n+1}-48$

            $=7^{2n+1}.(49-1)-48$

            $=(7^{2n+1}-1).48$

 Ta có: $(7^{2n+1}-1)\vdots (7-1)=6$

$\Rightarrow P(n+1)-P(n)\vdots 6.48=288$

Mà $P(n)\vdots288$

$\Rightarrow P(n+1)\vdots 288$(đpcm)

 

Câu 2 a Chứng minh $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+50^{3}\vdots 1+2+3+...+50$

 

Đặt $S=1^3+2^3+3^3+...+49^3+50^3$

Đặt $S'=1+2+3+...+49+50$

Khi đó $S'=\frac{51.50}{2}=51.25$

Mà $(51;25)=1$ nên ta chỉ cần cm $S\vdots 25$ và $S\vdots 51$

ta có: $S=(1^3+50^3)+(2^3+49^3)...(25^3+26^3)\vdots 51$(1)

Lại có: $S=(1^3+49^3)+(2^3+48^3)+(3^3+47^3)...(25^3+50^3)\vdots 25$(2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

Câu 1.a.

$x^4-6x^2+25$

$=x^4+4x^3+5x^2-4x^3-16x^2-20x+5x^2+20x+25$

$=(x^2-4x+5)(x^2+4x+5)$

Câu 1a cách khác:

ta có: $x^4-6x^2+25=x^4+2.5x^2+25-16x^2$

$=(x^2+5)^2-(4x)^2$

$=(x^2-4x+5)(x^2+4x+5)$

Nay thầy tớ dạy chia đa thức nên post lên cho mấy bạn xem

Bài 1.Xác định số a sao cho

a.$(10x^2-7x+a) \vdots (2x-3)$

Bài 1a)

Đặt $(10x^2-7x+a)=(2x-3)P(x)$ (1)

Thay $x=\frac{3}{2}$ vào (1) ta có:

$10.\frac{9}{4}-7.\frac{3}{2}+a=0$

$\Leftrightarrow 12+a=0$

$\Leftrightarrow a=-12$

Nhận xét: $\frac{2}{k(k+1)(k+2)}=\frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}$

Tương tự: $\frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{1}{(k+1)(k+2)}-\frac{1}{(k+2)(k+3)}$

...

$\frac{2}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

Ta có: 2S=$\frac{1}{k(k+1)}-$$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

             S=$\frac{1}{k(k+1)}-$$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$:2

Ta hãy xét tích:

$-3014.1897=-5717558$

$-1527.3039=-4640553$

Vì -5717558 < -4640553

Nên $\frac{-3014}{3039}< \frac{-1527}{1897}$