demon311

x=0 là một nghiệm

 

$1+\sqrt[]{ 2}=\sqrt[x]{ x+\sqrt[]{ x^2+1}}$

 

$f(t)=\sqrt[t]{ t+\sqrt[]{ t^2+1}}$

 

$f(-t)=\sqrt[-t]{ -t+\sqrt{ t^2+1}}=\left ( \dfrac{ 1}{t+\sqrt{ t^2+1}} \right )^{\frac{-1}{t}}$ $=(t+\sqrt{t^2+1})^{\frac{1}{t}}=\sqrt[t]{ t+\sqrt{ t^2+1}}=f(t) $

 

Do đó $f(t)$ là hàm chẵn, nên nếu $f(t)$ có nghiệm $t_0>0$ thì cũng có nghiệm $-t_0$

 

Ta xét f(t) liên tục trên $(0;+\infty)$

 

$f(t)=(t+\sqrt{ t^2+1})^{-t} \Rightarrow f'(t)=-t(t+\sqrt{ t^2+1})^{-t-1} < 0 \ \ \forall t$

 

Nên $f(t)$ liên tục và nghịch biến trên $(0;+\infty)$

 

Ta có $f(1)=f(x) \Rightarrow x=1$

 

Vì x=1 là nghiệm nên x=-1 cũng là 1 nghiệm

 

Vậy có 3 nghiệm 

Sử dụng điều kiện có nghiệm của pt $a\sin x +b\cos x=c$ là $a^2+b^2 \ge c^2$

 

1) $y\sin x +(y-1)\cos x =2y+2$

 

2) $(2y-1)\cos x -(y+2)\sin x =3-4y$

 

Áp dụng cái trên là xong

Cho a, b, > 0 và $a^{2}+b^{2}=1$. Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right )^{2}\geq 2\sqrt{2}$

 

$ab \le \dfrac{ 1}{2}$

 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right )^{2} = \dfrac{ 1}{a}+\dfrac{ 1}{b}-\dfrac{ a}{b}-\dfrac{ b}{a}+2=\dfrac{ a+b-a^2-b^2}{ab}+2=\dfrac{ a+b-1}{ab}+2 \\ \ge \dfrac{ 1}{\sqrt[]{ ab}}-\dfrac{ 1}{ab}+2=2\sqrt[]{ 2}$

Đặt $t=x+1$ rồi thây vào pt

 

Giải $\Delta $ với pt có 2 nghiệm $t>0 \Leftrightarrow \begin{cases}S>0 \\ P>0  \end{cases} $

Cho hỏi thím lớp mấy ở LQĐ?

=================================

 

Xét với $n=0$:

 

$x^2-6x+a^2=0 \\ \Delta'= 36-4a^2 < 0 \Rightarrow \text{vô nghiệm}$

 

Với $n=2$: $3x^4-12x^3+a^4=0$

 

Dùng đạo hàm khảo sát ta thấy vô nghiệm'

 

Xét tại $n=2k \ \  (k \ge 2)$

 

Tức là $(2k+1)x^{2k+2}-3(2k+2)x^{2k+1}+a^{2k+2}=0$ vô nghiệm

 

$VT=y \Rightarrow y'= (2k+2)(2k+1)x^{2k+1}-3(2k+1)(2k+2)x^{2k} \\ y'=0 \Leftrightarrow x^{2k}(2k+2)(2k+1)(x-3) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x=0 \\ x=3 \end{array} \right.  $

 

Giá trị tại cực đại, cực tiểu: 

 

Tại $x=0$: $y=a^{2k+2}>0$

 

Tại $x=3$: $y=a^{2k+2}-3^{2k+2}>0$

 

Tại $\pm \infty$: $y=+ \infty $

 

Do hàm liên tục trên R và có giá trị cực đại, cực tiểu, giá trị tại vô cùng lớn hơn 0 nên hàm $y>0 \ \forall a>3$

 

Nên pt vô nghiệm $\forall a>3$

Có nghiệm lần lượt trong các khoảng $(-2;-1) ; \left (-1;\dfrac{ 1}{2} \right ) ; \left (\dfrac{ 1}{2} ; 1\right )$

 

Theo định lý Vi-ét

 

$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=-\dfrac{1}{2} \\ \sum x_1x_2=-1 \\ x_1x_2x_3=-\dfrac{ 1}{8} \end{cases} $

 

$\sum \limits^3_{i=1} \dfrac{ 1}{x_i^2-7x_i+12} = \sum \limits^3_{i=1} \left ( \dfrac{ 1}{x_i-4}-\dfrac{ 1}{x_i-3} \right ) = \dfrac{ \sum x_1x_2-6(x_1+x_2+x_3)+27}{x_1x_2x_3-3 \sum x_1x_2 +9(x_1+x_2+x_3)-27} + \dfrac{\sum x_1x_2- 8 (x_1+x_2+x_3)+48}{x_1x_2x_3-4 \sum x_1x_2 +16(x_1+x_2+x_3)-64} = -\dfrac{ 232}{229}-\dfrac{ 408}{545} $

Ta có:

 

$\sum \dfrac{ a^2+b^2-c^2}{ab}=2(\cos A + \cos B +\cos C) = 2 \left (1+4\prod \sin \dfrac{ A}{2} \right ) > 2$

 

Bạn tự chứng minh $\sum \cos A = 1+4\prod \sin \dfrac{ A}{2}$ nhé

Hình đây ạ. Chuẩn 98%.

Nhiều khả năng H thuộc (O). Mời mọi người chúng minh

Dùng Bunhia thì ra $VT \le 2x$

 

Chuyển vế sẽ được $1 \le x \le 2$

 

Chuyển vế liên hợp rồi xét hàm với $1 \le x \le 2$ là ra nghiệm x=1

Câu cuối: $\sum \limits^3 _{i=0} \dfrac{ 3}{(x+1+3i)(x+4+3i)}= 1-\dfrac{ 1}{13} \\ \dfrac{ 1}{x+1}-\dfrac{ 1}{x+13}= 1-\dfrac{ 1}{13} \\ x=0$

Đặt $t=\sqrt{ x^2-2x3} \ (t \ge 0)$

 

$xt+t=t^2+2x-2 \\ \Leftrightarrow t^2+(x+1)t+2(x-1)=0 \\ \Delta =x^2+2x+1-8x+8=(x-3)^2 \\ \left[ \begin{array}{ll} t=\dfrac{-x-1+x-3 }{2}=-2 \\ t=\dfrac{ -x-1-x+3}{2}=1-x \end{array} \right. $

 

Coi như xong

Chứng minh cái công thức đầu tiên này:

 

$\dfrac{ OH}{tan \frac{B}{2}} = BH \\ \dfrac{ OH}{tan \frac{C}{2}} = CH \\ OH \left ( \dfrac{ 1}{tan \frac{B}{2}} + \dfrac{ 1}{\frac{C}{2}} \right ) =BC$

Hình cái hình anh nhé

Ta có:

 

$OH=BC.\dfrac{ tan \frac{B}{2}.tan \frac{C}{2}}{\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \\ r=\dfrac{ a.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}}{\left (\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}\right )\left (\cos \frac {B}{2} . \cos \frac{C}{2}\right ) } =\dfrac{ a.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}}{\sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2} \cos \frac{B}{2}}=\dfrac{ a.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}}{\sin \left (\frac{B}{2}+\frac{C}{2} \right )} \\  = \dfrac{ a.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}}{\cos \frac{A}{2}}$

$\frac{x+2}{\sqrt{7-6x}}+\frac{1-x}{\sqrt{13+6x}}=\frac{11}{8} $

$\Leftrightarrow \frac{6x+12}{\sqrt{7-6x}}+\frac{6-6x}{\sqrt{13+6x}}=\frac{66}{8} $

đặt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{7-6x} & \\ b=\sqrt{13+6x} & \end{matrix}\right. (a;b\geq 0) $

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 6x=7-a^{2} & \\ 6x=b^{2}-13 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{7-a^{2}+12}{a}+\frac{6-(b^{2}-13)}{b}=\frac{33}{4} & \\ a^{2}+b^{2}=20 & \end{matrix}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{20-a^{2}}{a}+\frac{20-b^{2}}{b}=\frac{33}{4} & \\ a^{2}+b^{2}=20 & \end{matrix}\right.$

đây là phương trình đối xứng loại 1 hay 2 mình cũng ko nhớ lắm nhưng chắc giải được 

 

19 chứ không phải 20 bạn ơi

1) $x \le 2$

Đặt $t=\sqrt{ 1-2y} \ \ \ \ \ \ \ \ ; (0 \le t \le x)$

 

$\begin{cases} x^2-3xt+2t^2=0 \\ \sqrt{ x-t}+x=2 \end{cases} \\ \begin{cases}  (x-t)(x-2t)=0 \\ \sqrt{ x-t}+x=2  \end{cases}  $

 

Từ phương trình 1 ta được $\left[ \begin{array}{ll} x=t \\ x=2t \end{array} \right. $

 

Thay vào được nghiệm $\left[ \begin{array}{ll} x=t=2 \\ \begin{cases}x=1 \\ t=0 \end{cases} \end{array} \right. $