Chung Anh

 

3) Chứng minh rằng $(3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n \in \mathbb{Z}^+ \forall n\in \mathbb{Z}^+$

Bài 3 không sử dụng CTTH 

Đặt $A_{n}= (3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n $

*Với n=1 thì $A_{1} \epsilon Z  $

*Với n=2 thì $A_{2} \epsilon Z $

*Giả sử với $n=k; k \geq 2$ thì $A_{k} \epsilon z $ và $ A_{k-1}\epsilon Z $

Ta có $A_{k}.6=\left [ (3+\sqrt{5})^k+(3-\sqrt{5})^k \right ].\left [ (3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5}) \right ]=(3+\sqrt{5})^{k+1}+(3-\sqrt{5})^{k+1}+(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})\left [ (3+\sqrt{5})^{k-1}+(3-\sqrt{5})^{k-1} \right ]=A_{k+1}+4A_{k-1} $

=>$A_{k+1}\epsilon Z $

=>đpcm

1.Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng

$\sum \frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{\sum a+\sqrt{3(\sum ab)}} $

2.Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác.Chứng minh rằng

a.$\sum \frac{1}{(a+2b)^2}\geq \frac{1}{\sum ab} $

b.$\sum \frac{1}{a+2b} \geq \sqrt{\frac{3}{\sum ab}}$

Với a,b,c dương và $\sum  a =3$. CMR: $\sum \frac{a^{2}+bc}{b+ca} \geq 3$

Do $ 2ac \leq a^2+c^2$ nên

=>$\frac{a^2+bc}{3b+3ac}=\frac{a^2+bc}{b(a+b+c)+ac+2ac}\geq \frac{a^2+bc}{a^2+b^2+c^2+ac+bc+ab} $

=>$\sum \frac{a^2+bc}{3b+3ac}\geq \frac{\sum a^2+bc}{a^2+b^2+c^2+ac+bc+ab}=1\Rightarrow \sum \frac{a^2+bc}{b+ac}\geq 3 $

=> đpcm

Dấu bằng xảy ra <=> $a=b=c$

Các anh chị bạn có thể cho em xin một số đầu sách về bất đẳng thức THPT hay được không ạ, em cảm ơn các anh chị bạn nhiều : ))

Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức (Võ Quốc Bá Cẩn-Trần Quốc Anh)

Sử dụng Cauchy Schwarz để chứng minh bất đẳng thức (tác giả như trên)

Bạn tham khảo chuyên đề Sắp thứ tự các biến của thầy Cẩn

 

 

$\boxed{\text{3}}$ $\sum \sqrt{\frac{a}{4a+4b+c}}\leq 1$

 

 

Ta có $VT\leq \sqrt{3(\sum \frac{a}{4a+4b+c})} $

Ta đi chứng minh $\sum \frac{a}{4a+4b+c}\leq \frac{1}{3} $ (*)

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

Khi đó $(*)\Leftrightarrow \frac{a}{4-c}+\frac{b}{4-a}+\frac{c}{4-b}\leq 1\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq 4 $

Giả sử b nằm giữa a và c

Khi đó $c(b-a)(b-c) \leq 0$

Nên $ a^2b+b^2c+c^2a+abc \leq a^2b+b^2c+c^2a+abc-c(b-c)(b-a)= b(a+c)^2=4b.\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}\leq 4(\frac{a+b+c}{3})^3=4$

=> đpcm

Cho a,b,c dương, chứng minh

$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

P/s: bài này trong sách anh Cẩn dùng chứng minh đối xứng, thế mà mình là xong nhìn bài giải chả thấy đối xứng chỗ nào luôn

Ta có $VT=(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c).(\prod (a+b))}$

Nên ta cần chứng minh $(1+a)(1+b)(1+c).\prod (a+b)\geq 8(a+bc)(b+ac)(c+ab) $

Ta có $(1+a)(b+c)=(b+ac)+(c+ab) \geq 2\sqrt{(b+ac)(c+ab)}$

Thiết lập các BĐT tương tự nhân lại có đpcm

CHIA SẺ THÊM 1 CHÚT

 

Lại nói về tình yêu toán học. Ngày trước, từ cấp 1, cấp 2 đến cấp 3, năm nào cũng trong đội tuyển toán, thành ra nghĩ mình sẽ gắn bó với toán, yêu toán. Nhưng thực ra không như vậy. Mua 1 đống sách toán về, chủ yếu cũng là để làm cảnh cho đẹp. Hầu hết quyển nào cũng chỉ được được mấy trang đầu. Cùng lắm là đến giữa quyển. Lên đến đại học, mời nghĩ hóa ra mình chỉ lầm tưởng mình yêu toán. Mà sự thực, học toán chỉ là cưỡng ép, chỉ là nhu cầu muốn thể hiện mình trước một môn học được coi là top của top (hồi đấy ghê lắm, cứ cái nào khó là lao vào :3 )

 

Các em vẫn đang là học sinh, sống sao cho bá đạo chút Học tiếng anh tốt vào, nghịch nhiều vào, can đảm nhiều vào. Đừng chúi đầu vào quyển sách để sau này lại hiền quá, khó sống trên đời. Bảo sao mấy ông nghỉ học toàn thành tỉ phú. Vì họ bá đạo, chứ không hiền như mấy ông cắm đầu vào quyển sách rồi nghĩ mình giỏi. Kiến thức bây giờ không phải là vấn đề chủ yếu nữa. Mà mình làm được gì mới là quan trọng.

 

Hồi học sinh, cứ nghĩ bị ghi vào sổ đầu bài là bị sao, sợ xanh mắt mèo. 1 lần bị ghi con 0 vào sổ, lo mãi. Nhưng giờ nghĩ lại, bị ghi sổ cũng chẳng sao :3 cùng lắm là bị phạt mấy buổi. Nhưng mà chẳng ảnh hưởng đến hạnh kiểm. Cuối kì cô thấy học tốt, cô vẫn cố cho hạnh kiểm tốt. Biết thế hồi đó cứ nghịch nhiều cho sướng :3

 

Đừng sống theo những khuôn phép thông thường!

Hồi lớp 6,7 em nghe lời thầy giáo răm rắp,đúng chất "mọt sách" .Lên lớp 8 bắt đầu thành đầu sỏ quậy phá của lớp,còn to gan cài bẫy thầy giáo,tiếc là không thành

Cho m và n là những dố tự nhiên với $n> m \geq 1$ .Trong cách viết thập phân ba chữ số cuối cùng của $1978^m$ theo thứ tự bằng ba chữ số cuối cùng của $1978^n$. Tìm các số m và n sao cho tổng $m+n$ có giá trị nhỏ nhất.

cho $\Delta{ABC}$ và điểm M bất kì, A',B',C' lần lượt thuộc BC,CA,AB sao cho $\widehat{AMA'}=\widehat{BMB'}=\widehat{CMC'}=90^{\circ}$ chứng minh A',B',C' thẳng hàng

Capture.PNG

Ta có $\frac{AC'}{C'B}.\frac{A'B}{A'C}.\frac{B'C}{B'A}$

           $=\frac{S_{MAC'}}{S_{MBC'}}.\frac{S_{MBA'}}{S_{MCA'}}.\frac{S_{MCB'}}{S_{MAB'}}$

           $=\frac{sinM_{5}.AM}{sinM_{4}.MB}.\frac{sinM_{3}.MB}{sinM_{2}.MC}.\frac{sinM_{1}.MC}{sin(180^{\circ}-\widehat{AMB'}).MA}=1 $ (do $180^{\circ}-\widehat{AMB'}=\widehat{M_{3}}$ )

Áp dụng định lí Menelaus đảo => $A',B',C'$ thẳng hàng

Gọi O là trung điểm của CH

=>$MO//BH$ (đường trung bình)

Dễ thấy $ \widehat{MCO}=\widehat{DMH}$

=>$\Delta MCH\sim \Delta DCM(g.g) \Rightarrow \frac{DM}{MH}=\frac{MC}{CH}\Rightarrow \frac{2DM}{MH}=\frac{MC}{\frac{CH}{2}}\Rightarrow \frac{AM}{MH}=\frac{MC}{CO} $

=>$\Delta AMH\sim \Delta MCO (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{OMC}\Rightarrow  $ MO vuông góc với AN

Mà $MO//BH$ nên BH vuông góc với AN

=>E là trực tâm tam giác ABN

cho $\Delta ABC$ nội tiếp (O), kẻ đường kính CC' và BB', D là một điểm bất kì trên cung nhỏ BC $C'D \cap AB =M,B'D \cap AC= N $ chứng minh M,O,N thẳng hàng

Capture.PNG

Gọi I là giao điểm của $(AMC')$ và $(ANB')$

=> $AC'MI$ và $AB'NI$ là tứ giác nội tiếp

=>$\widehat{C'IB'}=\widehat{AIC'}+\widehat{AIB'}=\widehat{AMC'}+\widehat{ANB'}=\widehat{C'OB'} $ (cùng bằng một nửa tổng số đo hai cung nhỏ Bc và B'C')

=> $C'IOB'$ là tứ giác nội tiếp

=>$\widehat{C'IO}+\widehat{C'B'O}=180^{\circ} $

Mà $\widehat{C'B'O}=\widehat{C'AB}=\widehat{C'IM} $

=> $\widehat{C'IO}+\widehat{C'IM}=180^{\circ}$

=> $M,I,O$ thẳng hàng

Tương tự $N,I,O$ thẳng hàng

=> $M,O,N$ thẳng hàng

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 12$

Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{b} +\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq 6$

Cách khác 

Có $VT=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}} $ (Cauchy Schwarz)

Mà $(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Nên => $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)^2}}=\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} =6$

=>đpcm

Cho a,b,c không âm.Chứng minh rằng:

a.$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq 1+\frac{3(a^3+b^3+c^3))}{2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)} $

b.$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{n^2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{a^3+b^3+c^3}\geq 1+2n $

c.$(\frac{a}{b+c})^3+(\frac{b}{c+a})^3+(\frac{c}{a+b})^3+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} $

Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ dương:

 

$\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^4}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^4}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}$

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

 $\sum \frac{a^4}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sum a^4+\sum a^3b+\sum a^2b^2}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum a^3.\sum a\geq \sum a^4+\sum a^3b+\sum a^2b^2\Leftrightarrow \sum a^3c\geq \sum a^2c^2\Leftrightarrow [3,0,1]\geq [2,0,2]$

 Đúng vì $(3,0,1)\succ (2,0,2)$