Chủ đề này có 2 trả lời

[Chung Anh]

Cho a,b,c không âm.Chứng minh rằng:

a.$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq 1+\frac{3(a^3+b^3+c^3))}{2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)} $

 

b.$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{n^2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{a^3+b^3+c^3}\geq 1+2n $

 

c.$(\frac{a}{b+c})^3+(\frac{b}{c+a})^3+(\frac{c}{a+b})^3+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} $

[phamquanglam]

Cho a,b,c không âm.Chứng minh rằng:

a.$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq 1+\frac{3(a^3+b^3+c^3))}{2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)} $

 

Ta có: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}(\frac{a-b+a-c}{b+c}+\frac{b-c+b-a}{c+a}+\frac{c-a+c-b}{a+b})=\frac{1}{2}\sum (a-b)(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a})=\frac{1}{2}\sum (a-b)\frac{a-b)}{(b+c)(c+a)}=\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(b+c)(c+a)}$

Tiếp: $\frac{1}{2}-\frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{2(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\frac{1}{2}(1-\frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})})=\frac{1}{2}\frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})-3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\frac{1}{2}\frac{\sum (a+b)(a-b)^{2}}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

Ta có BDT viết lại thành:

$\sum \frac{a}{b+c}-1-\frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\frac{\sum (a-b)^{2}}{2(b+c)(c+a)}+\frac{1}{2}\frac{\sum (a+b)(a-b)^{2}}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\sum (a-b)^{2}(\frac{1}{2(b+c)(c+a)}+\frac{a+b}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})})\geq 0 \Rightarrow \sum \frac{a}{b+c}\geq 1+\frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 17-07-2015 - 20:32

[phamquanglam]

Cho a,b,c không âm.Chứng minh rằng:

 

c.$(\frac{a}{b+c})^3+(\frac{b}{c+a})^3+(\frac{c}{a+b})^3+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} $

Ta có: $(\frac{a}{b+c})^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}.(\frac{a}{b+c})^{3}}=\frac{3}{4}.\frac{a}{b+c}$

CMTT ta có: $(\frac{b}{c+a})^{3}+\frac{1}{4}\geq \frac{3}{4}.\frac{b}{c+a}$

$(\frac{c}{a+b})^{3}+\frac{1}{4}\geq \frac{3}{4}.\frac{c}{a+b}$

$\Rightarrow \sum (\frac{a}{b+c})^{3}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}\sum \frac{a}{b+c}$

Nên: $\sum (\frac{a}{b+c})^{3}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geq \frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{4}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}=\frac{3}{4}(\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2})+(1-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})+(\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{5}{8})=\frac{3}{4}\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(b+c)(c+a)}+\frac{-\frac{1}{2}.\sum (a-b)^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{5}{8}.\frac{8abc-(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{3}{4}\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(b+c)(c+a)}+\frac{-\frac{1}{2}.\sum (a-b)^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{5}{8}.\frac{-\sum a(a-b)^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\sum (a-b)^{2}(\frac{3}{8(b+c)(c+a)}-\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{5}{8}\frac{a}{(a+b)(b+c)(c+a)}) $(*)$

Ta sẽ có: $S_{c}=\frac{3}{8(b+c)(c+a)}-\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{5}{8}\frac{a}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$S_{a}=\frac{3}{8(c+a)(a+b}-\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{5}{8}\frac{b}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$S_{b}=\frac{3}{8(a+b)(b+c)}-\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{5}{8}\frac{c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Không mất tính tổng quát giả sử $c\geq b\geq a$

Ta nhận thấy: $S_{c},S_{a}\geq 0$ nên theo tiêu chuẩn $S.O.S$ thì phải chứng minh: $a^{2}S_{a}+b^{2}S_{b}\geq 0$

 

http://www.wolframal...+b)(b+c)(c+a)))

 

Luôn đúng với $c\geq b\geq a$ nên $(*)$ đúng

Suy ra điều phải chứng minh