hieu31320001

$\frac{a^{3}}{c}+\frac{b^{^{3}}}{d}=\frac{a^{4}}{ac}+\frac{b^{4}}{bd}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{ac+bd}\geq\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{\sqrt{(c^{2}+d^{2})(a^{2}+b^{^{2}})}}=1$ vì $c^{2}+d^{^{2}}=(a^{2}+b^{^{2}})^{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $c=a(a^{2}+b^{2}) ; d=b(a^{2}+b^{2})$

http://diendantoanho...um-fraca2a2bc2/. câu cuối

câu 4

$\sum \frac{a}{2a+b+c}\leq\sum \frac{a}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})= \frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

39. Áp dụng bất đẳng thức cosi và bất đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$, ta có

f=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+8xy-4xy\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}+4-(x+y)^{2}\geq 4+4-1=7$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=1/2

Ta có :$4x^{2}+y^{2}-4xy\geq 0$ nên cần cm $x^{2}+y\geq 3$ (1)

từ gt suy ra $y=\frac{2x}{2x-1}$ mà y>0 nên kết hợp với gt x dương thì x>1/2

do đó bđt (1)$\Leftrightarrow 2x^{3}-x^{2}-4x+3\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^{2}(2x+3)\geq 0$.

Đẳng thức xảy ra khi x=1,y=2

Ta có:

P=$\sum \frac{x}{\sqrt{y}}=\sum \frac{2x}{\sqrt{4y}}\geq \sum \frac{4x}{y+4}$

mà $\sum \frac{4x}{y+4}+\sum \frac{y+4}{4}\geq \sum x\Rightarrow \sum \frac{4x}{y+4}\geq \frac{3}{4}\sum x-3\geq \frac{3}{4}.12-1=8$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=4

Nếu là dấu trừ thì ta có lời giải sau

Đặt a=$\sqrt{x+2}$ và b=$\sqrt{4x+1}$ với a,b dương

khi đó pt$\Leftrightarrow b^{2}-2a^{2}+ab=2a+b\Leftrightarrow (2a+b)(b-a-1)=0$

Câu 1 $x^{2}-x-4=2\sqrt{x-1}(1-x)$ (1)  (ĐKXĐ: x$\geq$1)

Đặt a=$\sqrt{x-1}$ , b=1-x  (a dương)

khi đó (1)$a^{2}+b^{2}-4=2ab\Leftrightarrow a-b=\pm 2$

TH1 a=b+2$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=3-x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^{2}-7x+10=0 & \\ 1\leq x\leq 3 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2$

Min $P^{2}=16+\sqrt{64-x^{2}}\geq 16$

EZ

sửa lại tí là $P^{4}=16+4\sqrt[4]{(8+x)(8-x)}(\sqrt{8+x}+\sqrt{8-x})+6\sqrt{64-x^{2}}\geq 16\Rightarrow P\geq 2$

Đẳng thức xảy ra khi x=8 hoặc x=-8

Ta có $a^{3}+1+1\geq 3a\Rightarrow \sum a^{3}\geq 3\sum a-6=3$ và áp dụng $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$ và bđt AM-GM,ta có

$\frac{a^{5}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a(b^{2}+c^{2})}{4}\geq a^{3}$

do đó $\sum \frac{a^{5}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum a^{3}-\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{4}\geq \sum a^{3}-\frac{2\sum a^{3}}{4}= \frac{\sum a^{3}}{2}\geq \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

$f(x)=\frac{\sqrt{(x-2012)2013}}{(x+1)\sqrt{2013}}+\frac{\sqrt{(x-2013)2012}}{(x-1)\sqrt{2012}}\leq \frac{x+1}{(x+1)2\sqrt{2013}}+\frac{x-1}{(x-1)2\sqrt{2012}}=\frac{1}{2\sqrt{2013}}+\frac{1}{2\sqrt{2012}}$

Đẳng thức xảy ra khi x=2015

BCS là cái gì vậy bạn có phải ..... không  , nếu không cho mình xin lỗi nhé

Bunhiacopxki

Lối viết tắt nguy hiểm của ông thầy mình học đó

Ta có vì a+b+c$\leq$3/2

nên  

$3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2a+2b+2c+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq 7\sqrt[7]{\frac{c}{2ab}}$

$3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2a+2b+2c+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\geq 7\sqrt[7]{\frac{a}{2bc}}$

$3+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geq 2a+2b+2c+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c}\geq 7\sqrt[7]{\frac{b}{2ca}}$

Nhân 3 BĐT  trên vế theo vế , ta có

P$\geq 343\sqrt[7]{\frac{1}{8abc}}\geq 343\sqrt[7]{\frac{27}{8(a+b+c)^{3}}}\geq 343$

vì $a+b+c\leq \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2

5.

Ta có

S=$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab+3ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+3ab+3bc+3ca}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)^{2}}=\frac{1}{2}$  .Áp dụng BĐT BCS và bổ đề $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$

 Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Câu 1

ta có 

4P=$\sum \sqrt[3]{8a(3b+5c)8}\leq\sum \frac{8a+3b+5c+8}{3}=\frac{16(a+b+c)+24}{3}= 24$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.Min P=6