Đến nội dung

NTA1907

NTA1907

Đăng ký: 30-11-2015
Offline Đăng nhập: 05-08-2018 - 18:54
****-

#669446 1, Với x, y >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\sqrt...

Gửi bởi NTA1907 trong 22-01-2017 - 21:31

1, Với x, y >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

Ở đây




#667792 Chứng minh rằng $u_{1996}\vdots 1997$

Gửi bởi NTA1907 trong 09-01-2017 - 21:01

Ta có

$u_{n+1}=4u_n+5u_{n-1}-1975\Leftrightarrow (u_{n+1}-\frac{1975}{8})-4(u_{n}-\frac{1975}{8})-5(u_{n-1}-\frac{1975}{8})=0$

Đặt

$v_{n}=u_{n}-\frac{1975}{8}$

Khi đó thì

$v_{n+1}-4v_{n}-5v_{n}=0$

Xét phương trình đặc trưng

$x^2-4x-5=0$

Có $2$ nghiệm là

$x_1=5; x_2=-1$

Khi đó công thức tổng quát của $v_n$ là

$v_n=\alpha5^n+\beta(-1)^n$

Ta lại có

$v_1=\frac{-1919}{8};v_2=\frac{-1575}{8}$

Từ đó tìm ra

$\alpha=\frac{-1747}{120},\beta=\frac{2005}{12}$

Do đó công thức của $u_n$ là

$u_n=\frac{-1747}{120}.5^n+\frac{2005}{12}.(-1)^n+\frac{1975}{8}$

Suy ra 

$u_{1996}=\frac{-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625}{120}$

Mà theo $Fermat$ và phép chia cho $1997$ có

$-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625\equiv -1747+80+1667\equiv 0(mod 1997)$

Vậy ta có đpcm.

 

P/s: Cách này trâu bò nhỉ?




#666154 $\sqrt{\frac{x + 7}{x + 1}} + 8...

Gửi bởi NTA1907 trong 29-12-2016 - 13:39

Giải pt: $\sqrt{\frac{x + 7}{x + 1}} + 8 = 2x^2 + \sqrt{2x - 1}$

ĐK: $x\geq \frac{1}{2}$
PT$\Leftrightarrow 2x^{2}-8+\left ( \sqrt{2x-1}-\sqrt{\frac{x+7}{x+1}} \right )=0$
$\Leftrightarrow 2x^{2}-8+\dfrac{2x-1-\frac{x+7}{x+1}}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{\frac{x+7}{x+1}}}=0$
$\Leftrightarrow 2x^{2}-8+\dfrac{2x^{2}-8}{(x+1)\left ( \sqrt{2x-1}+\sqrt{\frac{x+7}{x+1}} \right )}=0$
$\Leftrightarrow (2x^{2}-8)\left ( 1+\dfrac{1}{(x+1)\left ( \sqrt{2x-1}+\sqrt{\frac{x+7}{x+1}} \right )} \right )=0$
$\Rightarrow x=2$(vì phần trong ngoặc luôn dương)



#666151 Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF

Gửi bởi NTA1907 trong 29-12-2016 - 13:14

$$3(y^2u+u^3)=2(2y^{3} +y^{2}u).$$ tại sao lại thế bạn

Hệ: $\left\{\begin{matrix} &y^{2}u+u^{3}=2 \\ &2y^{3}+y^{2}u=3 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 3(y^{2}u+u^{3})=2(2y^{3}+y^{2}u)=6$



#665802 Topic về phương trình và hệ phương trình

Gửi bởi NTA1907 trong 25-12-2016 - 13:14

Bài này ở trong báo THTT, đã hết hạn chưa vậy

Nếu có đáp án thì bạn đăng lên để mn cùng thảo luận :)




#665716 Topic về phương trình và hệ phương trình

Gửi bởi NTA1907 trong 24-12-2016 - 13:53

Bài 550: $\sqrt[3]{2x^3+6}=x+\sqrt{x^2-3x+3}$

 

P/s: Triệu tập các thánh pt...




#663853 $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+4x...

Gửi bởi NTA1907 trong 05-12-2016 - 13:30

Tính giới hạn sau:

$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+4x}\sqrt[3]{1+6x}\sqrt[4]{1+8x}\sqrt[5]{1+10x}-1}{x}$




#663186 Chứng minh rằng: $(x_n)$ là dãy tăng thực sự khi $n\to...

Gửi bởi NTA1907 trong 27-11-2016 - 14:06

Cho $x_n=(1+\frac{1}{n})^n,\text{  } n\in \mathbb{N}^* $. Chứng minh rằng: $(x_n)$ là dãy tăng thực sự khi $n\to \infty$

Ta có:
$x_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}=1.\left ( 1+\frac{1}{n} \right ).\left ( 1+\frac{1}{n} \right )...\left ( 1+\frac{1}{n} \right )< \left [ \dfrac{1+\left ( 1+\frac{1}{n} \right )+\left ( 1+\frac{1}{n} \right )+...+\left ( 1+\frac{1}{n} \right )}{n+1} \right ]^{n+1}=\left ( 1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}=x_{n+1}$
$\Rightarrow$ đpcm



#662362 giải hệ phương trình

Gửi bởi NTA1907 trong 18-11-2016 - 21:59

$\dpi{300} \small \left\{\begin{matrix} x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}=x^{2}+y\\ y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}}=y^{2}+x \end{matrix}\right.$

Cộng 2 phương trình vế với vế ta có:
$2xy\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right )=x^{2}+y^{2}$
Mặt khác ta có:
$VT=VP=2xy\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}+8}}+\frac{1}{\sqrt[3]{(y-1)^{2}}+8} \right )\leq 2xy\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \right )=2xy$
$\Rightarrow (x-y)^{2}\leq 0$
$\Leftrightarrow x=y$
Thay $x=y$ vào ta có:
$\frac{2x^{2}}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}+8}}=x^{2}$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $\frac{2}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}+8}}=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=1$
Vậy $(x,y)=(0;0),(1;1)$



#662315 Giải phương trình: $\sqrt{x-\frac{1}{x...

Gửi bởi NTA1907 trong 18-11-2016 - 13:42

Giải phương trình sau:
 $\sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{x^2 -x}=2$

ĐK: $x-\frac{1}{x}\geq 0, x^{2}-x\geq 0$
Pt$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x-\frac{1}{x}}-1 \right )+\left ( \sqrt{x^{2}-x}-1 \right )=0$
$\Leftrightarrow \frac{x^{2}-x-1}{\sqrt{x}\left ( \sqrt{x-\frac{1}{x}}+1 \right )}+\frac{x^{2}-x-1}{\sqrt{x^{2}-x}+1}=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}-x-1)\left ( \frac{1}{\sqrt{x}\left ( \sqrt{x-\frac{1}{x}}+1 \right )}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-x}}+1 \right )=0$
$\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0$(vì phần trong ngoặc luôn dương)



#661634 Giải hệ $\begin{cases} 2x^2-y^2+xy-5x+y+2=\sqrt...

Gửi bởi NTA1907 trong 12-11-2016 - 13:26

Giải hpt: 

$\begin{cases}  2x^2-y^2+xy-5x+y+2=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x} \\x^2-y-1=\sqrt{4x+y+5}-\sqrt{x+2y-2}  \end{cases} $

ĐK: $x\leq 1, y-2x+1\geq 0, 4x+y+5\geq 0, x+2y-2\geq 0$

Pt(1)$\Leftrightarrow (x+y-2)(2x-y-1)=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x}$

$\Leftrightarrow (x+y-2)(2x-y-1)=\frac{x+y-2}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}$

$\Leftrightarrow x+y-2=0$ hoặc $2x-y-1=\frac{1}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}(*)$

Vì $2x-y-1\leq 0$(theo ĐK) và $\frac{1}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}> 0\Rightarrow (*)$ vô nghiệm

$\Rightarrow y=2-x$

Đến đây thay vào pt(2) là dc...




#661244 CM $\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq...

Gửi bởi NTA1907 trong 09-11-2016 - 13:05

Cho $a,b,c>0$. CM

$\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{a+b+c}{6}$

Bài này thì quá quen thuộc rồi. Bạn tham khảo ở đây




#661239 Tìm Max của $\sum \frac{a}{\sqrt{bc(1...

Gửi bởi NTA1907 trong 09-11-2016 - 12:47

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=abc$. Tìm Max của

$\sum \frac{a}{\sqrt{bc(1+a^{2})}}$

Từ gt: $a+b+c=abc \Rightarrow a^{2}+ab+ac+bc=a^{2}bc+bc \Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^{2}+1)$

Áp dụng AM-GM ta có:

$\sum \frac{a}{\sqrt{bc(a^{2}+1)}}=\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\sum \left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c} \right )=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$




#660554 Cm $xy+yz+zx \leq 8 $

Gửi bởi NTA1907 trong 04-11-2016 - 13:09

Cho $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2} =3& \\ y^{2} +yz+z^{2}=16& \end{matrix}\right.$

Cm $xy+yz+zx \leq 8 $

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$48=(x^{2}+xy+y^{2})(y^{2}+yz+z^{2})=\left [ \left ( x+\frac{y}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{y\sqrt{3}}{2} \right )^{2} \right ]\left [ \left ( \frac{z\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+\left ( y+\frac{z}{2} \right )^{2} \right ]\geq \left [ \left ( x+\frac{y}{2} \right )\frac{z\sqrt{3}}{2}+\frac{y\sqrt{3}}{2}\left ( y+\frac{z}{2} \right ) \right ]=\frac{3}{4}(xy+yz+zx)^{2}$
$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)^{2}\leq 64$
$\Leftrightarrow -8\leq xy+yz+zx\leq 8$



#660553 CM $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}...

Gửi bởi NTA1907 trong 04-11-2016 - 12:57

Cho $a,b,c >0$. CM

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}$

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{ab^{2}-abc+ac^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum ab^{2}+\sum a^{2}b-3abc}$
Ta chứng minh:
$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum ab^{2}+\sum a^{2}b-3abc}\geq a+b+c$
$\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)$(luôn đúng theo Schur)
Mà $a+b+c\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}\Rightarrow$ đpcm





  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Đang xem trang cá nhân: Likes: NTA1907