NTA1907

cho a,b,c>0 , a+b+c=3. c/m : $\sum \frac{8}{a^{2}+b^{2}+2}\leq 6$

Giải phương trình $x^{2}+2x-2x\sqrt{x}+2\sqrt{x}-8=0$

Nghiệm "đẹp" thế này chắc phải giải bằng lượng giác.

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1

Tìm MIN $\sum \frac{a}{(b+c)^2}$

Cho $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$

CMR: $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1$

Ở đây

$(a+b)^{6}+(b+c)^{6}+\left ( c+a \right )^{6}\geq \frac{16}{61}(a^{6}+b^{6}+c^{6})$

2. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta có:

$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ca}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \sqrt{a^{2}+8bc}\leq \sqrt{3\left [ (\sum a^{2}+2\sum ab)+2.3\sum ab \right ]}\leq \sqrt{3\left [ (\sum a)^{2}+2(\sum a)^{2} \right ]}=3(a+b+c)$

P/s: Bài này có nhiều cách...

bài 1: cho a,b,c $\in$ $\left [ 0;1 \right ]$. cmr:

$\frac{a}{b+c+1}$+$\frac{a}{b+c+1}$+$\frac{a}{b+c+1}$+(1-a)(1-b)(1-c)$\leq$1

Ở đây

 

 \[2{{\rm{x}}^2} - x - 2 + \sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 3}  = \sqrt {8{\rm{x}} + 3} \]

 

Điều kiện: $x\geq \frac{-3}{8}$

Phương trình đã cho tương đương với:

$\left [ \sqrt{3x^{2}+2x+3}-(x+2) \right ]+\left [ (2x+1)-\sqrt{8x+3} \right ]+2x^{2}-2x-1=0$

$\Leftrightarrow \frac{2x^{2}-2x-1}{\sqrt{3x^{2}+2x+3}+x+2}+\frac{2(2x^{2}-2x-1)}{2x+1+\sqrt{8x+3}}+2x^{2}-2x-1=0$

$\Leftrightarrow (2x^{2}-2x-1)\left ( \frac{1}{\sqrt{3x^{2}+2x+3}+x+2}+\frac{2}{2x+1+\sqrt{8x+3}}+1 \right )=0$

$\Leftrightarrow 2x^{2}-2x-1=0$(vì phần trong ngoặc luôn dương với $x\geq \frac{-3}{8}$)

 Xét tính tăng giảm của dãy số $U_n=\frac{2-n}{\sqrt{n}}$

Xét hiệu: $u_{n}-u_{n+1}=\frac{2-n}{\sqrt{n}}-\frac{1-n}{\sqrt{n+1}}=\frac{(2-n)\sqrt{n+1}-(1-n)\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}> 0$(vì $(2-n)\sqrt{n+1}> (1-n)\sqrt{n}$)

$\Rightarrow$ Dãy số giảm

$\left\{\begin{matrix} (2-x)(2-y)=8 & & \\ x^2=4-y^2 & & \end{matrix}\right.$

Pt(2): $\frac{x^{2}}{4}=1-\frac{y^{2}}{4}$

Đặt $\frac{x}{2}=sinx, \frac{y}{2}=cosx$

Khi đó phương trình (1) trở thành:

$(1-sinx)(1-cosx)=2$

$\Leftrightarrow sinx+cosx-sinx.cosx+1=0(*)$

Đặt $sinx+cosx=t, t\in \left [ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right ]$

$\Rightarrow sinx.cosx=\frac{t^{2}-1}{2}$

Thay vào pt(*) ta được 1 pt mới bậc 2 ẩn t. Đến đây chắc dễ rồi

Hai bài 79 và 80: vpvn và PlanBbyFESN đã cho lời giải đúng. Mình xin tiếp tục:

Bài 81: Cho các số thực thỏa mãn: $x,y,z>0$ và thỏa mãn: $x=y+z+xyz$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{(z+z\sqrt{xy})^2}{(x+y)(z^2+1)}+\frac{2z}{(z^2+1)\sqrt{z^2+1}}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$P=\frac{z(z+xyz+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z(x-y+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z\left [ (x-y).1+2\sqrt{xy}.z \right ]}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{z\sqrt{\left [ (x-y)^{2}+4xy \right ](1+z^{2})}}{(x+y)(1+z^{2})}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{\sqrt{z^{2}+1}}\left ( 1-\frac{z^{2}}{z^{2}+1} \right )=\frac{3z}{\sqrt{z^{2}+1}}-\frac{2z^{3}}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

Khảo sát hàm số $f(t)=3t-2t^{3}$ với $0\leq t=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow P\leq f(t)\leq \sqrt{2}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=\sqrt{2}+1, y=\sqrt{2}-1, z=1$

Bài 547: $\sqrt{6}(x^{2}-3x+1)+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}\leq 0$

Bài 548: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^{2}+\sqrt{3(x+y)} \\ &12x(2x^{2}+3y+7xy)=-1-12y^{2}(3+5x) \end{matrix}\right.$

Đóng góp cho topic một bài khá hay 

Bài toán: Cho $a,b,c$ không âm và không có 2 số nào đồng thời bằng 0. CMR: Với mọi $k\geq 1$ ta luôn có:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+k.\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq 2\sqrt{k}+1$(Phạm Sinh Tân-Sáng tác)

Lời giải:(sưu tầm)

Bất đẳng thức đã cho thuần nhất nên ta chuẩn hoá $a+b+c=1$. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\sum \frac{a}{b+c}+k.\frac{ab+bc+ca}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq 2\sqrt{k}+1$

Đổi biến $a,b,c$ theo $p,q,r$; khi đó ta chứng minh:

$\frac{1-2q+3r}{q-r}+k.\frac{q}{1-3q+3r}\geq 2\sqrt{k}+1$

Ta có:

$\frac{1-2q+3r}{q-r}+k.\frac{q}{1-3q+3r}\geq \frac{1-3q+3r}{q-r}+k.\frac{q}{1-3q+3r}+1\geq \frac{1-3q+3r}{q}+k.\frac{q}{1-3q+3r}+1$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\frac{1-3q+3r}{q}+k.\frac{q}{1-3q+3r}+1\geq 2\sqrt{k}+1$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=\left ( \frac{\sqrt{k+2\sqrt{k}-3}+\sqrt{k+1}}{2}x;x;0 \right )$

Tìm max A= $13\sqrt{x^{2}-x^{4}}+9\sqrt{x^{2}+x^{4}}$ với $0\leq x \leq1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:

$A^{2}=x^{2}\left ( \sqrt{13}.\sqrt{13-13x^{2}}+3\sqrt{3}.\sqrt{3+3x^{2}} \right )^{2}\leq x^{2}(13+27)(13-13x^{2}+3+3x^{2})=40x^{2}(16-10x^{2})=4.10x^{2}(16-10x^{2})\leq (10x^{2}+16-10x^{2})^{2}=16^{2}$

$\Rightarrow A\leq 16$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Giải phương trình:

$\frac{8x(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^{2}}=5-\sqrt{2}$