NTA1907

Giải phương trình nghiệm nguyên:
2) $2(x+y)+xy=x^2+y^2$

$2(x+y)+xy=x^{2}+y^{2}

$\Leftrightarrow x^{2}-x(y+2)+y^{2}-2y=0$(1)

$\Delta =(y+2)^{2}-4(y^{2}-2y)=-3y^{2}+12y+4=-3(y-2)^{2}+16$

Pt (1) có nghiệm$\Leftrightarrow \Delta \geq 0\Leftrightarrow (y-2)^{2}\leq \frac{16}{3}$

Mà $(y-2)^{2}$ là số chính phương nên $(y-2)^{2}\in \left \{ 0;1;4 \right \}$

Đến đây thì được rồi

Giải phương trình:

$a) x^3-3x^2+2\sqrt{(x+2)^3}-6x=0$

$b) \sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

bạn làm sai rồi. khi chia hai vế cho x thì vế phải còn 4x chứ không phải 4

Bạn ấy làm đúng rồi mà. Chia mỗi phân số cho x nghĩa là chia cho x²

Gpt: $(\sqrt{x^{2}+1}-x)^{5}+(\sqrt{x^{2}+1}+x)^{5}=123$

Cũng đặt như trên ta được:

$\left\{\begin{matrix} &a^{5}+b^{5}=123 \\ &ab=1 \end{matrix}\right.$

Thay $a=\frac{1}{b}$ vào phương trình đầu ta có:

$\frac{1}{b^{5}}+b^{5}=123 \Leftrightarrow b^{10}-123b^{5}+1=0 \Rightarrow t^{2}-123t+1=0$

Đến đây thì bạn phải tự giải bằng tay vì nghiệm rất lẻ

Giải phương trình : 

2)$4x^2+\frac{3}{4}=2\sqrt{x}$

Đặt $\sqrt{x}=t\geq 0$

$\Rightarrow 16t^{4}-8t+3=0 \Leftrightarrow (2t-1)^{2}(4t^{2}+4t+6)=0$

$\Rightarrow t=\frac{1}{2}$(thoả mãn)

$\Rightarrow x=\frac{1}{4}$

3. $\left\{\begin{matrix} x^4+y^4+6x^2y^2=41 & \\ xy(x^2+y^2)=10 & \end{matrix}\right.$

Ta có:$\left\{\begin{matrix} &(x^{2}+y^{2})^{2}+4x^{2}y^{2}=41 \\ &xy(x^{2}+y^{2})=10 \end{matrix}\right.$ 

Đặt $x^{2}+y^{2}=a; xy=b$ 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &a^{2}+4b^{2}=41 \\ &ab=10 \end{matrix}\right.$ 

Đến đây thì dễ rồi

4.  $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^{2}-y \end{matrix}\right.$

Pt(2)$\Leftrightarrow \sqrt{x+y}+y=x^{2}$

$\Leftrightarrow x+y+\sqrt{x+y}+\frac{1}{4}=x^{2}+x+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x+y}+\frac{1}{2})^{2}=(x+\frac{1}{2})^{2}$

Đến đây thì dễ rồi

1/ giải phương trình

   a) $(x^2+\frac{4}{x^2})-4(x-\frac{2}{x})-9=0$

ĐK: $x\neq 0$

Đặt $x-\frac{2}{x}=t\Rightarrow x^{2}+\frac{4}{x^{2}}=t^{2}+4$

Khi đó ta có:

$t^{2}+4-4t-9=0\Leftrightarrow t^{2}-4t-5=0 \Leftrightarrow t=5$ hoặc $t=-1$

Đến đây ta thay vào tìm x

Cho $a,b,c$ dương thỏa $abc=1$ , CMR $\frac{a^4}{b+3c}+\frac{b^4}{c+3a}+\frac{c^4}{a+3b} \geq \frac{a+b+c}{4} $

Ta có: $VT\geq \dfrac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a+b+c)}\geq \dfrac{\dfrac{(a+b+c)^{4}}{9}}{4(a+b+c)}=\dfrac{(a+b+c)^{3}}{36}$

Ta chứng minh: $\dfrac{(a+b+c)^{3}}{36}\geq \dfrac{a+b+c}{4}$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq 9$(luôn đúng vì $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

5/ $2x^2-11x+21-3\sqrt{4x-4}=0$

Pt$\Leftrightarrow 2x^{2}-11x+21=3\sqrt[3]{4x-4}$

Vì $VT> 0$ nên $\sqrt[3]{4x-4}> 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$4(x+3)=(4x-4)+8+8\geq 3\sqrt[3]{8.8.(4x-4)}\Leftrightarrow \sqrt[3]{4x-4}\leq x+3$

Thay vào pt ta có:

$2x^{2}-11x+21\leq x+3 \Leftrightarrow 2(x-3)^{2}\leq 0$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=3$

5/ $2x^2-11x+21-3\sqrt{4x-4}=0$

Chỗ này phải là $\sqrt[3]{4x-4}$ chứ nhỉ

Rút gọn phân thức

b)B=$\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x^{2}}+\frac{4}{1+x^{4}}+\frac{8}{1+x^{8}}+\frac{16}{1+x^{16}}$

$B=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x^{2}}+\frac{4}{1+x^{4}}+\frac{8}{1+x^{8}}+\frac{16}{1+x^{16}}$

    =$\frac{2}{1-x^{2}}+\frac{2}{1+x^{2}}+\frac{4}{1+x^{4}}+\frac{8}{1+x^{8}}+\frac{16}{1+x^{16}}$

    =$\frac{4}{1-x^{4}}+\frac{4}{1+x^{4}}+\frac{8}{1+x^{8}}+\frac{16}{1+x^{16}}$

    =$\frac{8}{1-x^{8}}+\frac{8}{1+x^{8}}+\frac{16}{1+x^{16}}$

    =$\frac{16}{1-x^{16}}+\frac{16}{1+x^{16}}=\frac{32}{1-x^{32}}$

Giải phương trình:

$\sqrt{x^{2}+15}=3\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+8}-2$