1, Với x, y >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$
Ở đây
- hanh7a2002123 yêu thích
Gửi bởi NTA1907 trong 22-01-2017 - 21:31
1, Với x, y >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$
Ở đây
Gửi bởi NTA1907 trong 09-01-2017 - 21:01
Ta có
$u_{n+1}=4u_n+5u_{n-1}-1975\Leftrightarrow (u_{n+1}-\frac{1975}{8})-4(u_{n}-\frac{1975}{8})-5(u_{n-1}-\frac{1975}{8})=0$
Đặt
$v_{n}=u_{n}-\frac{1975}{8}$
Khi đó thì
$v_{n+1}-4v_{n}-5v_{n}=0$
Xét phương trình đặc trưng
$x^2-4x-5=0$
Có $2$ nghiệm là
$x_1=5; x_2=-1$
Khi đó công thức tổng quát của $v_n$ là
$v_n=\alpha5^n+\beta(-1)^n$
Ta lại có
$v_1=\frac{-1919}{8};v_2=\frac{-1575}{8}$
Từ đó tìm ra
$\alpha=\frac{-1747}{120},\beta=\frac{2005}{12}$
Do đó công thức của $u_n$ là
$u_n=\frac{-1747}{120}.5^n+\frac{2005}{12}.(-1)^n+\frac{1975}{8}$
Suy ra
$u_{1996}=\frac{-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625}{120}$
Mà theo $Fermat$ và phép chia cho $1997$ có
$-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625\equiv -1747+80+1667\equiv 0(mod 1997)$
Vậy ta có đpcm.
P/s: Cách này trâu bò nhỉ?
Gửi bởi NTA1907 trong 29-12-2016 - 13:39
Giải pt: $\sqrt{\frac{x + 7}{x + 1}} + 8 = 2x^2 + \sqrt{2x - 1}$
Gửi bởi NTA1907 trong 29-12-2016 - 13:14
$$3(y^2u+u^3)=2(2y^{3} +y^{2}u).$$ tại sao lại thế bạn
Gửi bởi NTA1907 trong 25-12-2016 - 13:14
Bài này ở trong báo THTT, đã hết hạn chưa vậy
Nếu có đáp án thì bạn đăng lên để mn cùng thảo luận
Gửi bởi NTA1907 trong 24-12-2016 - 13:53
Bài 550: $\sqrt[3]{2x^3+6}=x+\sqrt{x^2-3x+3}$
P/s: Triệu tập các thánh pt...
Gửi bởi NTA1907 trong 27-11-2016 - 14:06
Cho $x_n=(1+\frac{1}{n})^n,\text{ } n\in \mathbb{N}^* $. Chứng minh rằng: $(x_n)$ là dãy tăng thực sự khi $n\to \infty$
Gửi bởi NTA1907 trong 18-11-2016 - 21:59
$\dpi{300} \small \left\{\begin{matrix} x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}=x^{2}+y\\ y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}}=y^{2}+x \end{matrix}\right.$
Gửi bởi NTA1907 trong 18-11-2016 - 13:42
Giải phương trình sau:
$\sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{x^2 -x}=2$
Gửi bởi NTA1907 trong 12-11-2016 - 13:26
Giải hpt:
$\begin{cases} 2x^2-y^2+xy-5x+y+2=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x} \\x^2-y-1=\sqrt{4x+y+5}-\sqrt{x+2y-2} \end{cases} $
ĐK: $x\leq 1, y-2x+1\geq 0, 4x+y+5\geq 0, x+2y-2\geq 0$
Pt(1)$\Leftrightarrow (x+y-2)(2x-y-1)=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x}$
$\Leftrightarrow (x+y-2)(2x-y-1)=\frac{x+y-2}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}$
$\Leftrightarrow x+y-2=0$ hoặc $2x-y-1=\frac{1}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}(*)$
Vì $2x-y-1\leq 0$(theo ĐK) và $\frac{1}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}> 0\Rightarrow (*)$ vô nghiệm
$\Rightarrow y=2-x$
Đến đây thay vào pt(2) là dc...
Gửi bởi NTA1907 trong 09-11-2016 - 13:05
Cho $a,b,c>0$. CM
$\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{a+b+c}{6}$
Bài này thì quá quen thuộc rồi. Bạn tham khảo ở đây
Gửi bởi NTA1907 trong 09-11-2016 - 12:47
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=abc$. Tìm Max của
$\sum \frac{a}{\sqrt{bc(1+a^{2})}}$
Từ gt: $a+b+c=abc \Rightarrow a^{2}+ab+ac+bc=a^{2}bc+bc \Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^{2}+1)$
Áp dụng AM-GM ta có:
$\sum \frac{a}{\sqrt{bc(a^{2}+1)}}=\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\sum \left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c} \right )=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$
Gửi bởi NTA1907 trong 04-11-2016 - 13:09
Cho $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2} =3& \\ y^{2} +yz+z^{2}=16& \end{matrix}\right.$
Cm $xy+yz+zx \leq 8 $
Gửi bởi NTA1907 trong 04-11-2016 - 12:57
Cho $a,b,c >0$. CM
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học