The Flash

Cho dãy số $\left\{\begin{matrix} a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{98} & \\ a_{0}=a_{1}=5 & \end{matrix}\right.$

CMR: $\frac{a_{n}+1}{6}$ là số chính phương

Làm theo cách đặt của bạn, gọi số đó là P=a1a2a3a4a5a6a7a8
P=(a1a2a3a4).10000+(a5a6a7a8) = 9999.(a1a2a3a4)+ (a1a2a3a4) + (a5a6a7a8)
Để P chia hết cho 1111 thì (a1a2a3a4) + (a5a6a7a8) chia hết cho 1111.
Hay 1000.(a1+a5)+ 100.(a2+a6)+ 10.(a3+a7) + (a4+a8) chia hết cho 1111.
-----
Đặt x=a1+a5; y=a2+a6; z=a3+a7; t=a4+a8;
Có 3<= x <= 15
x+y+z+t=36
1000.x+100.y+10.z+t chia hết cho 1111
Thay t= 36-x-y-z. Suy ra 999x+99y+9z+36 chia hết cho 1111.
Mà (9,1111)=1. Suy ra A=111x+11y+z+4 chia hết cho 1111.
A<111.15+11.15+15+4=1849 nên A=1111
+ Nếu x>9 thì A>111.9+11.15+15+4=1183 (vô lý)
+ Nếu x<9, hay x<=8 thì 0< A<111.8+11.15+15+4=1072 <1111 (vô lý)
Vậy x=9.
Suy ra 11.y+z+4=112. Đến đây dễ dàng suy ra x=y=z=t=9.
------
Tìm số bộ thỏa mãn a1+a5=a2+a6=a3+a7=a4+a8=9
Ta phải chọn (a1,a5) (a2,a6) (a3,a7) (a4,a8) vào các bộ (1,8) (2,7) (3,6) (4,5)
Có 4.3.2.1 cách chọn như vậy
Ứng với mỗi cách chọn lại có thể hoán vị như sau: (1,8) thành (8,1);(2,7) thành (7,2);(3,6) thành (6,3); (4,5) thành (5,4). => Có 2^4 cách
Tóm lại số số thỏa mãn là 4.3.2.1.2^4=384
Ví dụ 1 số là 12348765=1111.11115

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{2}$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{1+b}{1+4a^2}+\frac{1+c}{1+4b^2}+\frac{1+a}{1+4c^2}$

Giải phương trình sau bằng 2 cách: $x^2.\sqrt[4]{2-x^4}-1=x^4-x^3$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm min của biểu thức:

$M=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}$ trong đó $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=6$

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng

$\frac{\left ( 3a-1 \right )^2}{2a^2+1}+\frac{\left ( 3b-1 \right )^2}{2b^2+1}+\frac{\left ( 3c-1 \right )^2}{2c^2+1}\geq 4$

Hình bạn tự vẽ

a/ Cm $ADME$ là hcn suy ra $AM=DE$

Gọi $O$ là giao điểm của $AM$ và $DE$ suy ra $O$ là trung điểm của $AM$ và $DE$

tam giác $AHM$ vuông tại $H$ có $O$ là trung điểm của $AM$ suy ra $OH=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}DE$

do đó tam giác $DEH$ vuông tại $H$ suy ra $\widehat{DHE}=90^{\circ}$

b/ $DHME$ là hình thang cân khi $DE//HM \Rightarrow DE//BC$

Mà $D,O,E$ thẳng hàng và $O$ là trung điểm của AM nên để $DE//BC$ thì $D,E$ là trung điểm của $AB$ và $AC$ 

suy ra $M$ là trung điểm của $BC$.

Cho $0\le a,b,c \le 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{1+b+c}+\frac{b}{1+c+a}+\frac{c}{1+a+b}+(1-a)(1-b)(1-c) \le 1$

Cho số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số nguyên. Chứng minh $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số chính phương.

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Đặt $\sqrt{x-1}=a(a\geq 0)$ thì 

$PT\Leftrightarrow a^4+a^2-4=-2a^3\Leftrightarrow\left ( a^2+a-2 \right )\left ( a^2+a+2 \right ) =0(1)$

Vì $a^2+a+2=\left ( a+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{7}{4}>0$ với mọi $a\geq 0$ nên $(1)\Leftrightarrow a^2+a-2=0\Leftrightarrow(a-1)(a+2)=0\Leftrightarrow a=1(tm)$ hoặc $a=-2$(loại)

giải pt $\sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow x-1=1\Leftrightarrow x=2$

thử lại ta thấy x=2 không phải là nghiệm của pt

vậy pt vô nghiệm

Cho  $\triangle ABC$ với $3\widehat{A}=6\widehat{B}=10\widehat{C}.$ Trên cạnh $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $AD=AB$.

Chứng minh rằng $BD=AC$.

Giải phương trình 

$\sqrt{2x-2}+\sqrt[3]{x-2}=\frac{9-x}{\sqrt[3]{8x-16}}$

Gợi ý. Lấy $E,F$ lần lượt là trung điểm của $PA$ và $PC$

Đặt $BC=a,AC=b,AB=c$

Ta có $\frac{A'B}{A'C}=\frac{c}{b}\Rightarrow \frac{A'B}{a}=\frac{c}{b+c}\Rightarrow A'B=\frac{ca}{b+c}$

Do đó $\frac{IA}{IA'}=\frac{c}{A'B}=\frac{c}{\frac{ca}{b+c}}=\frac{b+c}{a}$

$\Rightarrow \frac{b+c}{a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\Rightarrow 2(b+c)=a\left ( \sqrt{3}+1 \right )$

Tương tự ta có: $\frac{IB}{IB'}=\frac{c+a}{b}$$\Rightarrow \frac{c+a}{b}=\sqrt{3}\Rightarrow c+a=b\sqrt{3}$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2(b+c)=a\left ( \sqrt{3}+1 \right ) & \\ c+a=b\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$

ta được $\left\{\begin{matrix} b=c\sqrt{3} & \\ a=2c & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^2=3c^2 & \\ a^2=4c^2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow a^2-b^2=c^2\Rightarrow a^2=b^2+c^2$

Suy ra $\triangle ABC$ vuông tại $A$

Mặt khác $a=2c$ $\Rightarrow \widehat{C}=30^{\circ},\widehat{B}=60^{\circ}$

Vậy số đo các góc của $\triangle ABC$ là $\widehat{A}=90^{\circ},\widehat{B}=60^{\circ},\widehat{C}=30^{\circ}$